루트 및 합리적 차수 테스트 10. 루트 n 차수: 기본 정의. 주제에 대한 강의 및 발표: "n차 근의 속성. 정리"

주제에 대한 강의 및 발표: "n차 근의 속성. 정리"

추가 자료
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11학년을 위한 온라인 상점 "Integral"의 교구 및 시뮬레이터
9-11학년 "삼각법"에 대한 대화형 설명서
10-11학년을 위한 대화형 매뉴얼 "대수"

n차 근의 속성. 정리

여러분, 우리는 계속해서 실수의 n차 근을 연구합니다. 거의 모든 수학적 대상과 마찬가지로 n도의 근에는 몇 가지 속성이 있습니다. 오늘 우리는 그것들을 연구할 것입니다.
우리가 고려하는 모든 속성은 루트 기호 아래에 포함된 변수의 음이 아닌 값에 대해서만 공식화되고 증명됩니다.
홀수 루트 지수의 경우 음의 변수에도 적용됩니다.

정리 1. 음이 아닌 두 숫자의 곱의 n제곱근은 다음 숫자의 n제곱근의 곱과 같습니다: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .

정리를 증명해 봅시다.
증거. 여러분, 정리를 증명하기 위해 새로운 변수를 소개하겠습니다.
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
$x=y*z$임을 증명해야 합니다.
다음 ID도 보유합니다.
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
그러면 다음 항등식이 성립합니다: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
음이 아닌 두 숫자의 차수와 그 지수가 같으면 차수 자체의 밑도 같습니다. 따라서 $x=y*z$, 이것이 증명되어야 하는 것입니다.

정리 2. $a≥0$, $b>0$ 및 n이 1보다 큰 자연수이면 다음과 같습니다. $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

즉, 몫의 n번째 근은 n번째 근의 몫과 같습니다.

증거.
이를 증명하기 위해 표 형식의 단순화된 체계를 사용합니다.

n번째 루트 계산의 예

예.
계산: $\sqrt(16*81*256)$.
해결책. 정리 1을 사용합시다: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

예.
계산: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
해결책. 급진적 표현을 가분수로 표현해 봅시다: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
정리 2를 사용합시다: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

예.
계산하다:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
해결책:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

정리 3. $a≥0$, k와 n이 1보다 큰 자연수이면 등식은 참입니다: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

자연의 힘에 뿌리를 내리기 위해서는 이 힘에 급진적인 표현을 올리는 것으로 충분하다.

증거.
$k=3$에 대한 특별한 경우를 생각해 봅시다. 정리 1을 사용합시다.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
다른 경우에도 마찬가지입니다. 여러분, $k=4$ 및 $k=6$인 경우에 대해 직접 증명하십시오.

정리 4. $a≥0$ b n,k가 1보다 큰 자연수이면 등식은 참입니다: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

근에서 근을 추출하려면 근의 지수를 곱하면 됩니다.

증거.
표를 사용하여 간단히 다시 증명해 보겠습니다. 이를 증명하기 위해 표 형식의 단순화된 체계를 사용합니다.

예.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

정리 5. 근의 인덱스와 근 표현에 동일한 자연수를 곱하면 근의 값은 변하지 않습니다: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

증거.
우리 정리의 증명 원리는 다른 예와 동일합니다. 새로운 변수를 소개합니다:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (정의상).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (정의상).
우리는 마지막 평등을 거듭제곱 p로 올립니다.
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
갖다:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
즉, 증명할 $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ 입니다.

예:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5로 나누기).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2로 나누기).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (곱하기 3).

예.
작업 실행: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
해결책.
근의 지수는 서로 다른 수이므로 정리 1은 사용할 수 없지만 정리 5를 적용하면 같은 지수를 얻을 수 있습니다.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 곱하기).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (곱하기 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

독립 솔루션을 위한 과제

1. 계산: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. 계산: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. 계산:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. 단순화:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. 작업 수행: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

실제로 루트 추출 작업을 성공적으로 사용하려면 이 작업의 속성을 숙지해야 합니다.
모든 속성은 루트 기호 아래에 포함된 변수의 음수가 아닌 값에 대해서만 공식화되고 증명됩니다.

정리 1. 음이 아닌 두 칩셋의 곱의 n번째 근(n=2, 3, 4,...)은 다음 숫자의 n번째 근의 곱과 같습니다.

논평:

1. 정리 1은 급진적 표현이 2개 이상의 음수가 아닌 숫자의 곱인 경우에 유효합니다.

정리 2.만약에, n은 1보다 큰 자연수이고, 다음은 평등입니다.

짧은(정확하지는 않지만) 실제로 사용하기에 더 편리한 공식: 분수의 근은 근의 분수와 같습니다.

정리 1은 m을 곱하는 것을 허용합니다. 같은 정도의 뿌리만 , 즉. 지수가 같은 근만.

정리 3. 만일 ,k는 자연수이고 n은 1보다 큰 자연수이면 다음과 같습니다.

즉, 근을 자연력으로 올리려면 어근 표현을 이 거듭제곱으로 올리면 충분합니다.
이것은 정리 1의 결과입니다. 실제로 예를 들어 k = 3인 경우 다음을 얻습니다.

정리 4. 만일 ,k, n은 1보다 큰 자연수이고 다음은 평등입니다.

즉, 근에서 근을 추출하려면 근의 지수를 곱하면 됩니다.
예를 들어,

조심하세요!우리는 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱 및 (근에서) 근 추출의 네 가지 작업을 근에서 수행할 수 있음을 배웠습니다. 그러나 근의 덧셈과 뺄셈은 어떻습니까? 안 돼요.
예를 들어, 인디드 대신 쓸 수는 없지만,

정리 5. 만일 근의 지표와 근 표현에 동일한 자연수를 곱하거나 나누면 근의 값이 변경되지 않습니다.

문제 해결의 예

예 1계산하다

해결책.근의 첫 번째 속성(정리 1)을 사용하여 다음을 얻습니다.

예 2계산하다
해결책.대분수를 가분수로 변환합니다.
우리는 뿌리의 두 번째 속성을 사용합니다 ( 정리 2 ), 우리는 다음을 얻습니다.

예 3계산하다:

해결책.아시다시피 대수학의 모든 공식은 "왼쪽에서 오른쪽으로"뿐만 아니라 "오른쪽에서 왼쪽으로"사용됩니다. 따라서 어근의 첫 번째 속성은 다음과 같이 나타낼 수 있고, 반대로 표현으로 대체할 수 있음을 의미합니다. 루트의 두 번째 속성에도 동일하게 적용됩니다. 이를 염두에 두고 계산을 해봅시다.

축하합니다: 오늘 우리는 8학년의 가장 놀라운 주제 중 하나인 어근을 분석할 것입니다. :)

많은 사람들이 어근이 복잡하기 때문이 아니라(복잡함 - 몇 가지 정의와 몇 가지 속성이 더 있음), 대부분의 학교 교과서에서 어근은 교과서의 저자만이 할 수 있는 그러한 야생을 통해 정의되기 때문에 어근에 대해 혼란스러워합니다. 이 낙서를 이해하십시오. 그런 다음에도 좋은 위스키 한 병만 있으면 됩니다. :)

따라서 이제 나는 가장 정확하고 가장 유능한 루트 정의를 제공 할 것입니다. 실제로 기억해야 할 유일한 것입니다. 그런 다음에야 설명하겠습니다. 이 모든 것이 필요한 이유와 실제로 적용하는 방법입니다.

그러나 먼저 많은 교과서 편집자가 어떤 이유로 "잊어 버린"중요한 점을 기억하십시오.

근은 짝수 차수(우리가 선호하는 $\sqrt(a)$, 모든 $\sqrt(a)$ 및 심지어 $\sqrt(a)$) 및 홀수 차수(모든 $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ 등). 그리고 홀수 차수의 근의 정의는 짝수 차수와 약간 다릅니다.

여기이 망할 "약간 다른"에는 뿌리와 관련된 모든 오류와 오해의 95 %가 숨겨져 있습니다. 따라서 용어를 한 번에 정리해 보겠습니다.

정의. 짝수 루트 N숫자 $a$에서 임의 음수가 아닌$((b)^(n))=a$가 되는 숫자 $b$. 그리고 같은 숫자 $a$에서 홀수 차수의 근은 일반적으로 $((b)^(n))=a$와 같은 등식이 성립하는 임의의 숫자 $b$입니다.

어쨌든 루트는 다음과 같이 표시됩니다.

\(ㅏ)\]

이러한 표기법에서 숫자 $n$을 루트 지수라고 하고 숫자 $a$를 근호식이라고 합니다. 특히, $n=2$에 대해 우리는 "좋아하는" 제곱근을 얻습니다(그런데 이것은 짝수 정도의 근입니다). $n=3$에 대해 우리는 세제곱근(홀수 정도)을 얻습니다. 이는 문제와 방정식에서도 종종 발견됩니다.

예. 제곱근의 전형적인 예:

\[\begin(정렬) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \종료(정렬)\]

그런데 $\sqrt(0)=0$이고 $\sqrt(1)=1$입니다. 이것은 $((0)^(2))=0$ 및 $((1)^(2))=1$이므로 상당히 논리적입니다.

입방근도 일반적입니다. 두려워하지 마십시오.

\[\begin(정렬) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \종료(정렬)\]

음, 몇 가지 "이국적인 예":

\[\begin(정렬) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \종료(정렬)\]

짝수와 홀수의 차이가 무엇인지 이해하지 못하면 정의를 다시 읽으십시오. 매우 중요합니다!

그동안 우리는 짝수 지수와 홀수 지수에 대한 별도의 정의를 도입해야 했기 때문에 근의 한 가지 불쾌한 특징을 고려할 것입니다.

왜 뿌리가 필요합니까?

정의를 읽은 후 많은 학생들이 "수학자들이 이것을 생각해냈을 때 무엇을 피웠습니까?"라고 물을 것입니다. 그리고 정말로: 왜 우리는 이 모든 뿌리가 필요한가요?

이 질문에 답하기 위해 잠시 초등학교로 돌아가 보자. 기억하세요: 나무가 더 푸르고 만두가 더 맛있던 먼 옛날에 우리의 주요 관심사는 숫자를 올바르게 곱하는 것이었습니다. 글쎄, "5 x 5 - 25"의 정신으로 된 것, 그게 다야. 그러나 결국 쌍이 아닌 숫자를 곱할 수 있지만 세 쌍, 네 쌍, 일반적으로 전체 세트로 곱할 수 있습니다.

\[\시작(정렬) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \끝(정렬)\]

그러나 이것은 요점이 아닙니다. 트릭은 다릅니다. 수학자들은 게으른 사람들이므로 다음과 같이 10 5의 곱셈을 적어야 했습니다.

그래서 그들은 학위를 내놓았습니다. 요인의 수를 긴 문자열 대신 위첨자로 쓰지 않는 이유는 무엇입니까? 이 같은:

매우 편리합니다! 모든 계산은 여러 번 줄어들고 일부를 기록하기 위해 많은 양피지 시트를 사용할 수 없습니다. 5 183 . 그러한 항목을 숫자의 정도라고 불렀고 많은 속성이 발견되었지만 행복은 수명이 짧은 것으로 판명되었습니다.

학위의 "발견"에 대해 조직 된 장대 한 술 후에 특히 술에 취한 일부 수학자가 갑자기 "숫자의 정도는 알고 있지만 숫자 자체는 모른다면 어떨까요? "라고 물었습니다. 실제로, 예를 들어 특정 숫자 $b$가 243의 5제곱을 제공한다는 것을 알고 있다면 숫자 $b$ 자체가 무엇인지 어떻게 추측할 수 있습니까?

이 문제는 언뜻보기보다 훨씬 더 세계적인 것으로 판명되었습니다. 대부분의 "기성품" 학위에는 그러한 "초기" 숫자가 없다는 것이 밝혀졌기 때문입니다. 스스로 판단하십시오.

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\오른쪽 화살표 b=3\cdot 3\cdot 3\오른쪽 화살표 b=3; \\ & ((b)^(3))=64\오른쪽 화살표 b=4\cdot 4\cdot 4\오른쪽 화살표 b=4. \\ \종료(정렬)\]

$((b)^(3))=50$이면 어떻게 되나요? 세 번 곱하면 50이되는 특정 숫자를 찾아야한다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나이 숫자는 무엇입니까? 3 3 = 27이므로 분명히 3보다 큽니다.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. 즉 이 숫자는 3에서 4 사이의 어딘가에 있지만 그것이 무엇인지는 이해할 것입니다.

이것이 바로 수학자들이 $n$번째 근을 생각해 낸 이유입니다. 이것이 급진적 아이콘 $\sqrt(*)$가 도입된 이유입니다. 동일한 숫자 $b$를 나타내기 위해 지정된 거듭제곱으로 이전에 알려진 값을 제공합니다.

\[\sqrt[n](a)=b\오른쪽 화살표 ((b)^(n))=a\]

나는 논쟁하지 않습니다 : 종종 이러한 뿌리는 쉽게 고려됩니다-우리는 위에서 몇 가지 그러한 예를 보았습니다. 그러나 여전히 대부분의 경우 임의의 숫자를 생각한 다음 그 숫자에서 임의의 차수의 근을 추출하려고 하면 잔인한 문제에 직면하게 됩니다.

어떤이! 가장 단순하고 친숙한 $\sqrt(2)$조차도 일반적인 형식인 정수나 분수로 표현할 수 없습니다. 이 숫자를 계산기에 입력하면 다음과 같이 표시됩니다.

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

보시다시피 소수점 뒤에는 논리를 따르지 않는 끝없는 숫자 시퀀스가 ​​있습니다. 물론 이 숫자를 반올림하여 다른 숫자와 빠르게 비교할 수 있습니다. 예를 들어:

\[\sqrt(2)=1.4142...\약 1.4 \lt 1.5\]

또는 여기 또 다른 예가 있습니다.

\[\sqrt(3)=1.73205...\약 1.7 \gt 1.5\]

그러나 이러한 모든 반올림은 첫째로 다소 거칠다. 둘째, 대략적인 값으로 작업할 수 있어야 합니다. 그렇지 않으면 명백하지 않은 오류를 많이 잡을 수 있습니다(그런데 비교 및 ​​반올림 기술은 반드시 프로필 시험에서 확인해야 합니다).

따라서 진지한 수학에서는 뿌리 없이는 할 수 없습니다. 그들은 우리가 오랫동안 알고 있던 분수 및 정수와 같은 모든 실수 $\mathbb(R)$ 집합의 동일한 대표자입니다.

근을 $\frac(p)(q)$ 형식의 분수로 나타낼 수 없다는 것은 이 근이 유리수가 아님을 의미합니다. 이러한 숫자를 무리수라고 하며 근호 또는 이를 위해 특별히 설계된 다른 구성(로그, 각도, 극한 등)을 사용하지 않고는 정확하게 표현할 수 없습니다. 그러나 그것에 대해서는 다른 시간에 더 자세히 설명합니다.

모든 계산 후에도 비합리적인 숫자가 여전히 답에 남아 있는 몇 가지 예를 고려하십시오.

\[\begin(정렬) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

당연히 근의 모양으로 소수점 뒤에 어떤 숫자가 올지 추측하는 것은 거의 불가능합니다. 그러나 계산기로 계산하는 것은 가능하지만 가장 진보된 날짜 계산기라도 무리수의 처음 몇 자릿수만 제공합니다. 따라서 답을 $\sqrt(5)$ 및 $\sqrt(-2)$로 쓰는 것이 훨씬 더 정확합니다.

그것이 그들이 발명 한 것입니다. 답변을 쉽게 작성할 수 있도록 합니다.

두 가지 정의가 필요한 이유는 무엇입니까?

주의 깊은 독자는 아마도 예제에 제공된 모든 제곱근이 양수에서 가져온 것임을 이미 알아차렸을 것입니다. 글쎄, 적어도 0부터. 그러나 세제곱근은 양수, 음수 등 절대적으로 모든 수에서 침착하게 추출됩니다.

왜 이런 일이 발생합니까? 함수 $y=((x)^(2))$의 그래프를 살펴보십시오.

이차 함수의 그래프는 양수와 음수의 두 근을 제공합니다.

이 그래프를 사용하여 $\sqrt(4)$를 계산해 봅시다. 이를 위해 수평선 $y=4$(빨간색으로 표시)가 그래프에 그려지고 두 지점에서 포물선과 교차합니다. $((x)_(1))=2$ 및 $((x) _(2)) =-2$. 이것은 매우 논리적입니다.

첫 번째 숫자로 모든 것이 명확합니다. 양수이므로 루트입니다.

그러나 두 번째 요점은 무엇입니까? 4는 한 번에 두 개의 근을 가집니까? 결국, 숫자 -2를 제곱하면 4도 얻게 됩니다. 그렇다면 $\sqrt(4)=-2$라고 쓰지 않겠습니까? 그리고 선생님들은 왜 그런 기록들을 보고 먹고 싶은 듯이 보시나요? :)

문제는 추가 조건이 부과되지 않으면 4는 양수와 음수라는 두 개의 제곱근을 갖게된다는 것입니다. 그리고 모든 양수에는 두 개가 있습니다. 그러나 음수에는 근이 전혀 없습니다. 포물선이 절대 축 아래로 떨어지지 않기 때문에 동일한 그래프에서 볼 수 있습니다. 와이, 즉. 음수 값을 취하지 않습니다.

지수가 짝수인 모든 근에 대해 유사한 문제가 발생합니다.

1. 엄밀히 말하면, 각각의 양수는 지수 $n$이 짝수인 두 근을 갖습니다.
2. 음수에서 $n$까지 있는 루트는 전혀 추출되지 않습니다.

그렇기 때문에 짝수 루트 $n$의 정의에서 답이 음수가 아닌 숫자여야 한다고 구체적으로 규정하는 이유입니다. 이것이 우리가 모호성을 제거하는 방법입니다.

그러나 홀수 $n$에는 그런 문제가 없습니다. 이를 확인하기 위해 함수 $y=((x)^(3))$의 그래프를 살펴보겠습니다.

3차 포물선은 모든 값을 가지므로 세제곱근은 모든 숫자에서 가져올 수 있습니다.

이 그래프에서 두 가지 결론을 도출할 수 있습니다.

1. 입방체 포물선의 가지는 일반적인 포물선과 달리 위아래로 양방향으로 무한대로 이동합니다. 따라서 수평선을 그리는 높이에 관계없이 이 선은 확실히 그래프와 교차합니다. 따라서 세제곱근은 절대적으로 모든 숫자에서 항상 취할 수 있습니다.
2. 또한 이러한 교차점은 항상 고유하므로 어떤 숫자를 "올바른" 루트로 간주할지, 어떤 숫자를 득점할지 생각할 필요가 없습니다. 이것이 바로 홀수 차수에 대한 근의 정의가 짝수 차수보다 더 간단한 이유입니다(음수가 아닌 요건이 없습니다).

이런 간단한 것들이 대부분의 교과서에 설명되어 있지 않은 것이 안타깝습니다. 대신, 우리의 두뇌는 모든 종류의 산술적 뿌리와 그 속성으로 치솟기 시작합니다.

예, 저는 논쟁하지 않습니다. 산술 루트 란 무엇입니까? 또한 알아야합니다. 이에 대해서는 별도의 강의에서 자세히 설명하겠습니다. 오늘 우리는 그것에 대해서도 이야기할 것입니다. 왜냐하면 그것 없이는 $n$번째 다중성의 근에 대한 모든 성찰이 불완전할 것이기 때문입니다.

그러나 먼저 위에서 설명한 정의를 명확하게 이해해야 합니다. 그렇지 않으면 풍부한 용어로 인해 머리에서 그러한 혼란이 시작되어 결국 아무것도 이해하지 못할 것입니다.

그리고 당신이 이해해야 할 것은 짝수와 홀수의 차이입니다. 따라서 다시 한 번 뿌리에 대해 알아야 할 모든 것을 수집합니다.

1. 짝수 근은 음이 아닌 숫자에서만 존재하며 그 자체는 항상 음이 아닌 숫자입니다. 음수의 경우 이러한 근은 정의되지 않습니다.
2. 그러나 홀수 차수의 근은 임의의 숫자에서 존재하며 그 자체로 임의의 숫자가 될 수 있습니다. 양수의 경우 양수이고 음수의 경우 캡 힌트에서 알 수 있듯이 음수입니다.

그거 어렵 니? 아니요, 어렵지 않습니다. 알았습니다? 예, 분명합니다! 따라서 이제 계산을 조금 연습하겠습니다.

기본 속성 및 제한 사항

뿌리에는 많은 이상한 속성과 제한이 있습니다. 이것은 별도의 수업이 될 것입니다. 따라서 이제 지수가 짝수인 근에만 적용되는 가장 중요한 "칩"만 고려할 것입니다. 이 속성을 수식 형식으로 작성합니다.

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\오른쪽|\]

즉, 숫자를 짝수승으로 올린 다음 여기서 같은 정도의 근을 추출하면 원래 숫자가 아니라 모듈러스를 얻게 됩니다. 이것은 증명하기 쉬운 간단한 정리입니다(음이 아닌 $x$를 별도로 고려한 다음 음수를 별도로 고려하면 충분합니다). 교사는 그것에 대해 끊임없이 이야기하며 모든 학교 교과서에 나와 있습니다. 그러나 비합리 방정식(즉, 근호의 부호를 포함하는 방정식)을 푸는 순간 학생들은 이 공식을 함께 잊어버립니다.

문제를 자세히 이해하기 위해 잠시 동안 모든 공식을 잊고 두 개의 숫자를 세어 봅시다.

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\쿼드 \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

이것은 매우 간단한 예입니다. 첫 번째 예는 대부분의 사람들이 해결하지만 두 번째 예에서는 많은 사람들이 고수합니다. 이러한 문제를 문제 없이 해결하려면 항상 다음 절차를 고려하십시오.

1. 먼저 숫자를 4제곱으로 올립니다. 음, 좀 쉽습니다. 구구단에서도 찾을 수 있는 새 숫자를 얻을 수 있습니다.
2. 이제 이 새 숫자에서 4도 근을 추출해야 합니다. 저것들. 근과 정도의 "축소"는 없습니다. 이는 순차적 작업입니다.

첫 번째 표현식 $\sqrt(((3)^(4)))$를 다루겠습니다. 분명히 먼저 루트 아래에서 식을 계산해야 합니다.

\[((3)^(4))=3\c도트 3\c도트 3\c도트 3=81\]

그런 다음 숫자 81의 네 번째 근을 추출합니다.

이제 두 번째 표현식에 대해 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 먼저 숫자 -3을 4제곱으로 올립니다. 이를 위해 자체적으로 4번 곱해야 합니다.

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ 왼쪽(-3 \오른쪽)=81\]

제품의 총 마이너스 수는 4 개이고 모두 서로 상쇄되기 때문에 양수를 얻었습니다 (결국 마이너스에 마이너스가 플러스를줍니다). 그런 다음 루트를 다시 추출하십시오.

원칙적으로 답이 같을 것이라는 것은 생각할 필요가 없기 때문에 이 줄은 쓸 수 없습니다. 저것들. 동일한 짝수의 짝수 근은 마이너스를 "태우고"이 의미에서 결과는 일반적인 모듈과 구별 할 수 없습니다.

\[\begin(정렬) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\왼쪽(-3 \오른쪽))^(4)))=\왼쪽| -3 \right|=3. \\ \종료(정렬)\]

이러한 계산은 짝수 근의 정의와 잘 일치합니다. 결과는 항상 음수가 아니며 근호도 항상 음수가 아닌 숫자입니다. 그렇지 않으면 루트가 정의되지 않습니다.

작업 순서에 대한 참고 사항

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ 표기법은 먼저 숫자 $a$를 제곱한 다음 결과 값의 제곱근을 취함을 의미합니다. 따라서 $((a)^(2))\ge 0$이기 때문에 음수가 아닌 숫자는 항상 루트 기호 아래에 있음을 확신할 수 있습니다.
2. 그러나 $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ 표기법은 반대로 특정 숫자 $a$에서 근을 추출한 다음 결과를 제곱한다는 것을 의미합니다. 따라서 숫자 $a$는 어떤 경우에도 음수가 될 수 없습니다. 이는 정의에 포함된 필수 요구 사항입니다.

따라서 어떤 경우에도 무심코 뿌리와 정도를 줄여 원래 표현을 "단순화"해서는 안됩니다. 루트 아래에 음수가 있고 지수가 짝수이면 많은 문제가 발생하기 때문입니다.

그러나 이러한 모든 문제는 짝수 지표에만 관련됩니다.

루트 기호 아래에서 빼기 기호 제거

당연히 지수가 홀수인 근도 고유한 특징을 가지고 있으며 원칙적으로 짝수인 경우에는 존재하지 않습니다. 즉:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

요컨대 홀수 근의 부호 아래에서 마이너스를 빼낼 수 있습니다. 이것은 모든 마이너스를 "버릴" 수 있는 매우 유용한 속성입니다.

\[\begin(정렬) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \끝(정렬)\]

이 간단한 속성은 많은 계산을 크게 단순화합니다. 이제 걱정할 필요가 없습니다. 부정적인 표현이 루트 아래에 있고 루트의 정도가 짝수로 판명되면 어떻게 될까요? 뿌리 외부의 모든 마이너스를 "버리는"것으로 충분합니다. 그 후에 서로 곱하고 나눌 수 있으며 일반적으로 "고전적인"뿌리의 경우 오류로 이어질 수 있는 의심스러운 일을 많이 합니다. .

그리고 여기에 또 다른 정의가 등장합니다. 대부분의 학교에서 비합리적인 표현에 대한 연구를 시작하는 바로 그 정의입니다. 그리고 그것 없이는 우리의 추론이 불완전할 것입니다. 만나다!

산술 루트

양수 또는 극단적인 경우 0만 루트 기호 아래에 있을 수 있다고 잠시 가정해 보겠습니다. 짝수 / 홀수 지표에 대해 점수를 매기고 위에 제공된 모든 정의에 대해 점수를 매기십시오. 음수가 아닌 숫자로만 작업합니다. 그럼?

그런 다음 산술 루트를 얻습니다. "표준"정의와 부분적으로 교차하지만 여전히 다릅니다.

정의. 음이 아닌 수 $a$의 $n$차 근은 $((b)^(n))=a$가 되는 음이 아닌 수 $b$이다.

보시다시피, 우리는 더 이상 패리티에 관심이 없습니다. 대신에 새로운 제한이 나타났습니다. 급진적 표현은 이제 항상 음수가 아니며 어근 자체도 음수가 아닙니다.

산술 근이 일반적인 근과 어떻게 다른지 더 잘 이해하려면 이미 우리에게 친숙한 정사각형 및 입방체 포물선의 그래프를 살펴보십시오.

루트 검색 영역 - 음수가 아닌 숫자

보시다시피 지금부터 $x$ 및 $y$ 좌표가 양수(또는 적어도 0)인 첫 번째 좌표 분기에 있는 그래프 조각에만 관심이 있습니다. 음수를 루팅할 권리가 있는지 여부를 이해하기 위해 더 이상 지표를 볼 필요가 없습니다. 음수는 더 이상 원칙적으로 고려되지 않기 때문입니다.

"음, 왜 그런 거세 정의가 필요한가요?" 또는: "왜 우리는 위에 주어진 표준 정의로는 만족할 수 없습니까?"

글쎄, 나는 새로운 정의가 적절하게 되기 때문에 하나의 속성만 제공할 것입니다. 예를 들어 지수화 규칙은 다음과 같습니다.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

참고: 급진적 표현을 임의의 거듭제곱으로 올릴 수 있고 동시에 근 지수에 동일한 거듭제곱을 곱할 수 있습니다. 그러면 결과는 같은 숫자가 됩니다! 여기 몇 가지 예가 있어요.

\[\begin(정렬) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \끝(정렬)\]

글쎄, 그게 뭐가 잘못된거야? 왜 전에는 할 수 없었습니까? 이유는 다음과 같습니다. 간단한 표현을 생각해 보십시오. $\sqrt(-2)$는 우리의 고전적인 의미에서 상당히 정상적인 숫자이지만 산술 루트의 관점에서는 절대 허용되지 않는 숫자입니다. 변환해 봅시다:

$\begin(정렬) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(정렬)$

보시다시피, 첫 번째 경우에는 급진적 아래에서 마이너스를 빼냈고(지표가 홀수이기 때문에 모든 권한이 있습니다) 두 번째 경우에는 위의 공식을 사용했습니다. 저것들. 수학의 관점에서 모든 것은 규칙에 따라 이루어집니다.

뭐야?! 어떻게 같은 숫자가 양수와 음수가 될 수 있습니까? 안 돼요. 양수와 0에 잘 작동하는 지수 공식이 음수의 경우 완전한 이단을 제공하기 시작한다는 것입니다.

여기에서 이러한 모호함을 없애기 위해 산술근을 생각해 냈습니다. 그들에 대한 별도의 큰 수업이 제공되며 여기서 모든 속성을 자세히 고려합니다. 이제 우리는 그들에 대해 생각하지 않을 것입니다. 어쨌든 수업이 너무 긴 것으로 판명되었습니다.

대수근: 더 알고 싶은 사람들을 위해

나는 오랫동안 생각했습니다. 이 주제를 별도의 단락으로 만들지 말지. 결국 나는 이곳을 떠나기로 결정했다. 이 자료는 더 이상 평균적인 "학교" 수준이 아니라 올림피아드에 가까운 수준에서 뿌리를 더 잘 이해하려는 사람들을 위한 것입니다.

따라서: 숫자에서 $n$ 번째 도의 근에 대한 "고전적인" 정의와 짝수 및 홀수 지표로의 관련 분할 외에도 패리티 및 홀수 지표에 의존하지 않는 보다 "성인" 정의가 있습니다. 전혀 다른 미묘함. 이를 대수근이라고 합니다.

정의. 모든 $a$의 대수적 $n$번째 근은 $((b)^(n))=a$가 되는 모든 숫자 $b$의 집합입니다. 그러한 뿌리에 대해 잘 정립된 명칭이 없으므로 위에 대시를 붙입니다.

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

수업 초반에 주어진 표준 정의와의 근본적인 차이점은 대수근이 특정 숫자가 아니라 집합이라는 것입니다. 그리고 우리는 실수로 작업하고 있기 때문에 이 집합에는 세 가지 유형만 있습니다.

1. 빈 세트. 음수에서 짝수 차수의 대수근을 찾아야 할 때 발생합니다.
2. 단일 요소로 구성된 집합입니다. 홀수 거듭제곱의 모든 근과 0에서 짝수 거듭제곱의 근이 이 범주에 속합니다.
3. 마지막으로 세트에는 두 개의 숫자가 포함될 수 있습니다. $((x)_(1))$ 및 $((x)_(2))=-((x)_(1))$ 차트 이차 함수. 따라서 이러한 정렬은 양수에서 짝수근을 추출해야만 가능하다.

마지막 사례는 더 자세히 고려할 가치가 있습니다. 차이점을 이해하기 위해 몇 가지 예를 들어 봅시다.

예. 표현식 계산:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

해결책. 첫 번째 표현은 간단합니다.

\[\overline(\sqrt(4))=\왼쪽\( 2;-2 \오른쪽\)\]

세트의 일부인 두 개의 숫자입니다. 각각의 제곱은 4를 제공하기 때문입니다.

\[\overline(\sqrt(-27))=\왼쪽\( -3 \오른쪽\)\]

여기서 우리는 하나의 숫자로만 구성된 집합을 봅니다. 근의 지수가 홀수이기 때문에 이것은 매우 논리적입니다.

마지막으로 마지막 표현:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

빈 세트가 있습니다. 네 번째(즉, 짝수!) 거듭제곱으로 올릴 때 음수 -16이 되는 실수는 하나도 없기 때문입니다.

최종 메모. 참고: 우리가 실수로 작업하고 있다는 사실을 모든 곳에서 언급한 것은 우연이 아닙니다. 복소수도 있기 때문에 $\sqrt(-16)$ 및 기타 많은 이상한 것들을 계산하는 것이 가능합니다.

그러나 현대 학교 수학 커리큘럼에서 복소수는 거의 발견되지 않습니다. 우리 관리들이 주제를 "이해하기 너무 어렵다"고 생각하기 때문에 대부분의 교과서에서 생략되었습니다.

그게 다야. 다음 강의에서는 근의 모든 주요 속성을 살펴보고 마지막으로 무리수 표현을 단순화하는 방법을 배웁니다. :)