Koreňový a racionálny stupeň testu 10. Koreň stupňa n: základné definície. Lekcia a prezentácia na tému: "Vlastnosti koreňa n-tého stupňa. Vety"

Lekcia a prezentácia na tému: "Vlastnosti koreňa n-tého stupňa. Vety"

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, spätnú väzbu, návrhy! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 11
Interaktívna príručka pre triedy 9-11 "Trigonometria"
Interaktívna príručka pre ročníky 10-11 "Logaritmy"

Vlastnosti koreňa n-tého stupňa. Vety

Chlapci, pokračujeme v štúdiu koreňov n-tého stupňa reálneho čísla. Ako takmer všetky matematické objekty, aj korene n-tého stupňa majú niektoré vlastnosti, dnes ich budeme študovať.
Všetky vlastnosti, ktoré zvažujeme, sú formulované a preukázané len pre nezáporné hodnoty premenných obsiahnutých pod koreňovým znakom.
V prípade nepárneho koreňového exponentu platia aj pre záporné premenné.

Veta 1. N-tá odmocnina súčinu dvoch nezáporných čísel sa rovná súčinu n-tej odmocniny týchto čísel: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .

Dokážme vetu.
Dôkaz. Chlapci, na dôkaz teorému predstavme nové premenné, označte:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Musíme dokázať, že $x=y*z$.
Všimnite si, že platia aj nasledujúce identity:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Potom platí aj nasledujúca identita: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Stupne dvoch nezáporných čísel a ich exponenty sú rovnaké, potom sú rovnaké aj základy stupňov. Preto $x=y*z$, čo bolo potrebné dokázať.

Veta 2. Ak $a≥0$, $b>0$ a n je prirodzené číslo väčšie ako 1, potom platí nasledujúca rovnosť: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

To znamená, že n-tý koreň kvocientu sa rovná podielu n-tých koreňov.

Dôkaz.
Aby sme to dokázali, používame zjednodušenú schému vo forme tabuľky:

Príklady výpočtu n-tej odmocniny

Príklad.
Vypočítajte: $\sqrt(16*81*256)$.
Riešenie. Použime vetu 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Príklad.
Vypočítajte: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Riešenie. Predstavme si radikálny výraz ako nevlastný zlomok: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Použime vetu 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2) $.

Príklad.
Vypočítať:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Riešenie:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Veta 3. Ak $a≥0$, k a n sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom platí rovnosť: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Aby sme pozdvihli koreň k prirodzenej sile, stačí povýšiť radikálny výraz na túto silu.

Dôkaz.
Uvažujme špeciálny prípad pre $k=3$. Využime vetu 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
To isté možno dokázať v akomkoľvek inom prípade. Chlapci, dokážte to sami pre prípad, keď $k=4$ a $k=6$.

Veta 4. Ak $a≥0$ b n,k sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom platí rovnosť: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Na extrahovanie koreňa z koreňa stačí vynásobiť exponenty koreňov.

Dôkaz.
Dokážme ešte raz stručne pomocou tabuľky. Aby sme to dokázali, používame zjednodušenú schému vo forme tabuľky:

Príklad.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Veta 5. Ak sú indexy koreňa a koreňového výrazu vynásobené rovnakým prirodzeným číslom, potom sa hodnota koreňa nezmení: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Dôkaz.
Princíp dôkazu našej vety je rovnaký ako v iných príkladoch. Predstavme si nové premenné:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (podľa definície).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (podľa definície).
Zvyšujeme poslednú rovnosť na mocninu p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Mám:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Teda $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, čo sa malo dokázať.

Príklady:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (delené 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (delené 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (vynásobené 3).

Príklad.
Spustiť akcie: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Riešenie.
Exponenty koreňov sú rôzne čísla, takže nemôžeme použiť vetu 1, ale použitím vety 5 môžeme získať rovnaké exponenty.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (vynásobené 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (vynásobené 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Úlohy na samostatné riešenie

1. Vypočítajte: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Vypočítajte: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Vypočítajte:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Zjednodušte:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Vykonajte akcie: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Ak chcete úspešne použiť operáciu extrakcie koreňa v praxi, musíte sa oboznámiť s vlastnosťami tejto operácie.
Všetky vlastnosti sú formulované a preukázané len pre nezáporné hodnoty premenných obsiahnutých v koreňových znakoch.

Veta 1. N-tá odmocnina (n=2, 3, 4,...) súčinu dvoch nezáporných čipsetov sa rovná súčinu n-tej odmocniny týchto čísel:

komentár:

1. Veta 1 zostáva v platnosti pre prípad, keď je radikálový výraz súčinom viac ako dvoch nezáporných čísel.

Veta 2.Ak, a n je prirodzené číslo väčšie ako 1, potom rovnosť

Stručný(hoci nepresná) formulácia, ktorá je v praxi vhodnejšia: koreň zlomku sa rovná zlomku koreňov.

Veta 1 nám umožňuje vynásobiť m len korene rovnakého stupňa , t.j. iba korene s rovnakým exponentom.

Veta 3. Ak ,k je prirodzené číslo a n je prirodzené číslo väčšie ako 1, potom rovnosť

Inými slovami, na pozdvihnutie koreňa k prirodzenej sile stačí povýšiť koreňový výraz na túto silu.
Toto je dôsledok vety 1. Skutočne napríklad pre k = 3 dostaneme

Veta 4. Ak ,k, n sú prirodzené čísla väčšie ako 1, potom rovnosť

Inými slovami, na extrahovanie koreňa z koreňa stačí vynásobiť exponenty koreňov.
Napríklad,

Buď opatrný! Dozvedeli sme sa, že s koreňmi možno vykonať štyri operácie: násobenie, delenie, umocňovanie a extrakciu odmocniny (z koreňa). Ale čo sčítanie a odčítanie koreňov? V žiadnom prípade.
Napríklad nemôžete písať namiesto Skutočne, ale je zrejmé, že

Veta 5. Ak ukazovatele koreňa a koreňového výrazu sa vynásobia alebo vydelia rovnakým prirodzeným číslom, potom sa hodnota koreňa nezmení, t.j.

Príklady riešenia problémov

Príklad 1 Vypočítajte

Riešenie. Pomocou prvej vlastnosti koreňov (veta 1) dostaneme:

Príklad 2 Vypočítajte
Riešenie. Preveďte zmiešané číslo na nesprávny zlomok.
Máme Použitie druhej vlastnosti koreňov ( veta 2 ), dostaneme:

Príklad 3 Vypočítať:

Riešenie. Akýkoľvek vzorec v algebre, ako dobre viete, sa používa nielen „zľava doprava“, ale aj „sprava doľava“. Takže prvá vlastnosť koreňov znamená, že môže byť reprezentovaná ako a naopak môže byť nahradená výrazom. To isté platí pre druhú vlastnosť koreňov. S ohľadom na to urobme výpočty.

Gratulujeme: dnes budeme analyzovať korene - jednu z najzaujímavejších tém 8. ročníka. :)

Mnoho ľudí je zmätených v súvislosti s koreňmi nie preto, že sú zložité (čo je komplikované – pár definícií a pár ďalších vlastností), ale preto, že vo väčšine školských učebníc sú korene definované takými divočinami, že to dokážu len samotní autori učebníc. pochopiť toto čmáranie. A aj to len s fľašou dobrej whisky. :)

Preto teraz uvediem najsprávnejšiu a najkompetentnejšiu definíciu koreňa - jedinú, ktorú si skutočne musíte zapamätať. A až potom vysvetlím: prečo je to všetko potrebné a ako to aplikovať v praxi.

Najprv si však zapamätajte jeden dôležitý bod, na ktorý z nejakého dôvodu mnohí zostavovatelia učebníc „zabudnú“:

Korene môžu byť párneho stupňa (naše obľúbené $\sqrt(a)$, ako aj ľubovoľné $\sqrt(a)$ a párne $\sqrt(a)$) a nepárne (ľubovoľné $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ atď.). A definícia koreňa nepárneho stupňa je trochu odlišná od párneho.

Tu v tomto skurvenom „trochu iné“ sa skrýva pravdepodobne 95% všetkých chýb a nedorozumení spojených s koreňmi. Poďme si teda raz a navždy ujasniť terminológiu:

Definícia. Dokonca aj koreň n od čísla $a$ je ľubovoľný nezápornéčíslo $b$ také, že $((b)^(n))=a$. A koreň nepárneho stupňa z rovnakého čísla $a$ je vo všeobecnosti akékoľvek číslo $b$, pre ktoré platí rovnaká rovnosť: $((b)^(n))=a$.

V každom prípade je koreň označený takto:

\(a)\]

Číslo $n$ v takomto zápise sa nazýva koreňový exponent a číslo $a$ sa nazýva radikálny výraz. Konkrétne pre $n=2$ dostaneme našu „obľúbenú“ druhú odmocninu (mimochodom, toto je odmocnina párneho stupňa) a pre $n=3$ dostaneme kubickú odmocninu (nepárny stupeň), ktorý sa tiež často nachádza v úlohách a rovniciach.

Príklady. Klasické príklady odmocnin:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(zarovnať)\]

Mimochodom, $\sqrt(0)=0$ a $\sqrt(1)=1$. Je to celkom logické, keďže $((0)^(2))=0$ a $((1)^(2))=1$.

Časté sú aj kubické korene - nebojte sa ich:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(zarovnať)\]

No, pár "exotických príkladov":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(zarovnať)\]

Ak nerozumiete, aký je rozdiel medzi párnym a nepárnym stupňom, prečítajte si definíciu ešte raz. Je to veľmi dôležité!

Medzitým sa pozrieme na jednu nepríjemnú vlastnosť koreňov, kvôli ktorej sme potrebovali zaviesť samostatnú definíciu pre párne a nepárne exponenty.

Prečo vôbec potrebujeme korene?

Po prečítaní definície sa mnohí študenti opýtajú: „Čo matematici fajčili, keď na to prišli? A naozaj: prečo potrebujeme všetky tieto korene?

Aby sme odpovedali na túto otázku, vráťme sa na chvíľu do základnej školy. Pamätajte: v tých vzdialených časoch, keď boli stromy zelenšie a halušky chutnejšie, nám išlo hlavne o to správne vynásobiť čísla. No niečo v duchu „päť na päť – dvadsaťpäť“, to je všetko. Čísla však môžete násobiť nie v pároch, ale v trojiciach, štvoriciach a vo všeobecnosti v celých súboroch:

\[\začiatok(zarovnanie) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

O to však nejde. Trik je iný: matematici sú leniví ľudia, preto museli násobenie desiatich pätiek zapísať takto:

Tak prišli na rad. Prečo nenapísať počet faktorov ako horný index namiesto dlhého reťazca? Ako tento:

Je to veľmi pohodlné! Všetky výpočty sa niekoľkonásobne zredukujú a nemôžete minúť kopu pergamenových zošitov na zapísanie nejakých 5 183 . Takýto záznam sa nazýval stupeň čísla, našlo sa v ňom veľa vlastností, ale šťastie sa ukázalo byť krátkodobé.

Po grandióznom chlastaní, ktoré bolo zorganizované len o „objavení“ stupňov, sa nejaký obzvlášť očarený matematik zrazu opýtal: „Čo ak poznáme stupeň čísla, ale nepoznáme samotné číslo? V skutočnosti, ak vieme, že napríklad určité číslo $b$ dáva 243 5. mocnine, ako potom môžeme uhádnuť, čomu sa rovná samotné číslo $b$?

Tento problém sa ukázal byť oveľa globálnejší, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Pretože sa ukázalo, že pre väčšinu „hotových“ stupňov takéto „počiatočné“ čísla neexistujú. Veď posúďte sami:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((b)^(3))=27\šípka doprava b=3\cbodka 3\cbodka 3\šípka doprava b=3; \\ & ((b)^(3))=64\šípka doprava b=4\cbodka 4\cbodka 4\šípka doprava b=4. \\ \end(zarovnať)\]

Čo ak $((b)^(3))=50 $? Ukazuje sa, že musíte nájsť určité číslo, ktoré, keď sa vynásobí trikrát, nám dá 50. Čo je to však za číslo? Je jednoznačne väčšie ako 3, pretože 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. T.j. toto číslo leží niekde medzi tromi a štyrmi, ale čomu sa rovná - Obr pochopíte.

To je presne dôvod, prečo matematici prišli s $n$-tým koreňom. Preto bola predstavená radikálna ikona $\sqrt(*)$. Na označenie rovnakého čísla $b$, ktoré nám pri zadanej mocnine poskytne predtým známu hodnotu

\[\sqrt[n](a)=b\šípka doprava ((b)^(n))=a\]

Netvrdím: tieto korene sa často ľahko zvažujú - vyššie sme videli niekoľko takýchto príkladov. Ale aj tak, vo väčšine prípadov, ak si spomeniete na ľubovoľné číslo a potom sa z neho pokúsite extrahovať koreň ľubovoľného stupňa, čaká vás krutý problém.

Čo je tam! Dokonca ani najjednoduchšie a najznámejšie $\sqrt(2)$ nemôže byť reprezentované v našej bežnej forme - ako celé číslo alebo zlomok. A ak zadáte toto číslo do kalkulačky, uvidíte toto:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Ako vidíte, za desatinnou čiarkou je nekonečná postupnosť čísel, ktoré sa neriadia žiadnou logikou. Toto číslo môžete samozrejme zaokrúhliť, aby ste ho mohli rýchlo porovnať s inými číslami. Napríklad:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približne 1,4 \lt 1,5\]

Alebo tu je ďalší príklad:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približne 1,7 \gt 1,5\]

Ale všetky tieto zaoblenia sú po prvé dosť hrubé; a po druhé, musíte vedieť pracovať aj s približnými hodnotami, inak môžete zachytiť kopu nezjavných chýb (mimochodom, zručnosť porovnávania a zaokrúhľovania sa nevyhnutne kontroluje na profilovej skúške).

Preto sa vo serióznej matematike bez koreňov nezaobídeme – sú to rovnakí rovnakí zástupcovia množiny všetkých reálnych čísel $\mathbb(R)$, ako zlomky a celé čísla, ktoré už dávno poznáme.

Nemožnosť reprezentovať koreň ako zlomok tvaru $\frac(p)(q)$ znamená, že tento koreň nie je racionálne číslo. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne a nie je možné ich presne znázorniť inak ako pomocou radikálu alebo iných na to špeciálne navrhnutých konštrukcií (logaritmy, stupne, limity atď.). Ale o tom viac inokedy.

Zvážte niekoľko príkladov, kde po všetkých výpočtoch zostanú v odpovedi stále iracionálne čísla.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\cca 2 236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\približne -1,2599... \\ \end(align)\]

Prirodzene, podľa vzhľadu koreňa je takmer nemožné uhádnuť, ktoré čísla budú nasledovať za desatinnou čiarkou. Dá sa však počítať na kalkulačke, no aj tá najpokročilejšia dátumová kalkulačka nám dá len prvých pár číslic iracionálneho čísla. Preto je oveľa správnejšie písať odpovede ako $\sqrt(5)$ a $\sqrt(-2)$.

Na to boli vymyslení. Aby sa vám ľahšie zapisovali odpovede.

Prečo sú potrebné dve definície?

Pozorný čitateľ si už zrejme všimol, že všetky odmocniny uvedené v príkladoch sú prevzaté z kladných čísel. Teda aspoň od nuly. Kocky sú však pokojne extrahované z absolútne ľubovoľného čísla - dokonca aj pozitívneho, dokonca aj negatívneho.

Prečo sa to deje? Pozrite sa na graf funkcie $y=((x)^(2))$:

Graf kvadratickej funkcie dáva dva korene: kladný a záporný

Skúsme vypočítať $\sqrt(4)$ pomocou tohto grafu. Na tento účel je na grafe nakreslená vodorovná čiara $y=4$ (označená červenou farbou), ktorá pretína parabolu v dvoch bodoch: $((x)_(1))=2$ a $((x) _(2)) = -2 $. Je to celkom logické, keďže

S prvým číslom je všetko jasné - je kladné, preto je to koreň:

Ale čo potom robiť s druhým bodom? Má tá 4ka dva korene naraz? Ak totiž odmocníme číslo −2, dostaneme aj 4. Prečo teda nenapísať $\sqrt(4)=-2$? A prečo sa učitelia pozerajú na takéto záznamy, akoby ťa chceli zjesť? :)

Problém je v tom, že ak sa neuložia žiadne ďalšie podmienky, štyri budú mať dve odmocniny – kladnú a zápornú. A každé kladné číslo ich bude mať aj dve. Ale záporné čísla nebudú mať vôbec korene - to je možné vidieť z toho istého grafu, pretože parabola nikdy neklesne pod os r, t.j. nenadobúda záporné hodnoty.

Podobný problém sa vyskytuje pre všetky korene s párnym exponentom:

1. Presne povedané, každé kladné číslo bude mať dva korene s párnym exponentom $n$;
2. Zo záporných čísel sa odmocnina s párnym $n$ vôbec nevytiahne.

To je dôvod, prečo definícia párneho koreňa $n$ špecificky stanovuje, že odpoveď musí byť nezáporné číslo. Takto sa zbavíme nejednoznačnosti.

Ale pre nepárnych $n$ takýto problém neexistuje. Aby sme to videli, pozrime sa na graf funkcie $y=((x)^(3))$:

Kubická parabola nadobúda ľubovoľnú hodnotu, takže odmocnina kocky môže byť prevzatá z ľubovoľného čísla

Z tohto grafu možno vyvodiť dva závery:

1. Vetvy kubickej paraboly, na rozdiel od bežnej, idú do nekonečna v oboch smeroch - hore aj dole. Preto, v akejkoľvek výške nakreslíme vodorovnú čiaru, táto čiara sa bude určite pretínať s naším grafom. Preto je možné vždy odobrať odmocninu, absolútne z akéhokoľvek čísla;
2. Okrem toho bude takáto križovatka vždy jedinečná, takže nemusíte premýšľať o tom, ktoré číslo považovať za „správny“ koreň a ktoré bodovať. Preto je definícia koreňov pre nepárny stupeň jednoduchšia ako pre párny (neexistuje požiadavka na nezápornosť).

Škoda, že tieto jednoduché veci nie sú vo väčšine učebníc vysvetlené. Namiesto toho náš mozog začne stúpať so všetkými druhmi aritmetických koreňov a ich vlastností.

Áno, nehovorím: čo je aritmetický koreň - musíte tiež vedieť. A o tom budem podrobne hovoriť v samostatnej lekcii. Dnes si o nej povieme tiež, pretože bez nej by boli všetky úvahy o koreňoch $n$-tej násobnosti neúplné.

Najprv však musíte jasne pochopiť definíciu, ktorú som uviedol vyššie. V opačnom prípade sa vám kvôli hojnosti pojmov začne v hlave taký chaos, že nakoniec nebudete rozumieť vôbec ničomu.

A všetko, čo potrebujete pochopiť, je rozdiel medzi párnymi a nepárnymi číslami. Preto opäť zhromaždíme všetko, čo skutočne potrebujete vedieť o koreňoch:

1. Párny koreň existuje len od nezáporného čísla a sám je vždy nezáporným číslom. Pre záporné čísla nie je takýto koreň definovaný.
2. Ale koreň nepárneho stupňa existuje z ľubovoľného čísla a sám o sebe môže byť ľubovoľným číslom: pre kladné čísla je kladný a pre záporné čísla, ako naznačuje viečko, záporný.

Je to zložité? Nie, nie je to ťažké. To je jasné? Áno, je to zrejmé! Preto si teraz trochu precvičíme s výpočtami.

Základné vlastnosti a obmedzenia

Korene majú veľa zvláštnych vlastností a obmedzení - toto bude samostatná lekcia. Preto teraz zvážime iba najdôležitejší "čip", ktorý sa vzťahuje iba na korene s párnym exponentom. Túto vlastnosť zapíšeme vo forme vzorca:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\vpravo|\]

Inými slovami, ak umocníme číslo na párnu mocninu a potom z nej vyberieme odmocninu rovnakého stupňa, nedostaneme pôvodné číslo, ale jeho modul. Toto je jednoduchá veta, ktorá sa dá ľahko dokázať (stačí zvážiť samostatne nezáporné $x$ a potom samostatne zvážiť negatívne). Učitelia o tom neustále hovoria, je to uvedené v každej školskej učebnici. No akonáhle príde na riešenie iracionálnych rovníc (t. j. rovníc obsahujúcich znamienko radikálu), žiaci tento vzorec razom zabudnú.

Aby sme problém pochopili dopodrobna, zabudnime na minútu všetky vzorce a skúsme spočítať dve čísla dopredu:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Toto sú veľmi jednoduché príklady. Prvý príklad bude vyriešený väčšinou ľudí, ale na druhý sa mnohí držia. Aby ste takéto svinstvo vyriešili bez problémov, vždy zvážte postup:

1. Najprv sa číslo zvýši na štvrtú mocninu. No je to akési jednoduché. Získa sa nové číslo, ktoré možno dokonca nájsť v tabuľke násobenia;
2. A teraz z tohto nového čísla je potrebné extrahovať koreň štvrtého stupňa. Tie. nedochádza k "zníženiu" koreňov a stupňov - ide o postupné akcie.

Poďme sa zaoberať prvým výrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Je zrejmé, že najprv musíte vypočítať výraz pod koreňom:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Potom extrahujeme štvrtý koreň čísla 81:

Teraz urobme to isté s druhým výrazom. Najprv zvýšime číslo −3 na štvrtú mocninu, pre ktorú ho musíme vynásobiť 4-krát:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ vľavo(-3 \vpravo)=81\]

Dostali sme kladné číslo, keďže celkový počet mínusov v produkte sú 4 kusy a všetky sa navzájom vyrušia (napokon mínus o mínus dáva plus). Potom znova extrahujte koreň:

Tento riadok sa v zásade nedal napísať, keďže nie je jasné, že odpoveď bude rovnaká. Tie. párny koreň tej istej párnej sily „vypáli“ mínusy a v tomto zmysle je výsledok na nerozoznanie od bežného modulu:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\vpravo|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]

Tieto výpočty sú v dobrej zhode s definíciou odmocniny párneho stupňa: výsledok je vždy nezáporný a radikálne znamienko je tiež vždy nezáporné číslo. V opačnom prípade nie je koreň definovaný.

Poznámka k poradiu operácií

1. Zápis $\sqrt(((a)^(2)))$ znamená, že najprv odmocníme číslo $a$ a potom vezmeme druhú odmocninu z výslednej hodnoty. Preto si môžeme byť istí, že nezáporné číslo vždy leží pod znamienkom koreňa, pretože $((a)^(2))\ge 0$ aj tak;
2. No zápis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ naopak znamená, že najskôr vytiahneme odmocninu z určitého čísla $a$ a až potom výsledok odmocníme. Preto číslo $a$ v žiadnom prípade nemôže byť záporné - je to povinná požiadavka zakotvená v definícii.

V žiadnom prípade by sa teda nemali bezmyšlienkovite zmenšovať korene a stupne, čím sa vraj „zjednodušuje“ pôvodný výraz. Pretože ak je pod odmocninou záporné číslo a jeho exponent je párny, dostaneme veľa problémov.

Všetky tieto problémy sú však relevantné len pre párne ukazovatele.

Odstránenie znamienka mínus spod koreňového znamienka

Prirodzene, korene s nepárnymi exponentmi majú tiež svoju vlastnosť, ktorá v zásade neexistuje pre párne. menovite:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Stručne povedané, môžete vytiahnuť mínus pod znakom koreňov nepárneho stupňa. Toto je veľmi užitočná vlastnosť, ktorá vám umožní „vyhodiť“ všetky mínusy:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Táto jednoduchá vlastnosť výrazne zjednodušuje mnohé výpočty. Teraz sa už nemusíte obávať: čo ak sa negatívny výraz dostal pod koreň a stupeň pri koreni sa ukázal byť párny? Všetky mínusy stačí „vyhodiť“ mimo koreňov, potom sa môžu navzájom množiť, deliť a celkovo robiť veľa podozrivých vecí, ktoré nás v prípade „klasických“ koreňov zaručene privedú k omylu. .

A tu vstupuje na scénu ďalšia definícia – práve tá, s ktorou väčšina škôl začína štúdium iracionálnych výrazov. A bez toho by naša úvaha bola neúplná. Zoznámte sa!

aritmetický koreň

Predpokladajme na chvíľu, že pod znamienkom koreňa môžu byť iba kladné čísla alebo v extrémnych prípadoch nula. Bodujme na párnych / nepárnych ukazovateľoch, bodujme na všetkých vyššie uvedených definíciách - budeme pracovať len s nezápornými číslami. Čo potom?

A potom dostaneme aritmetický koreň - čiastočne sa pretína s našimi "štandardnými" definíciami, ale stále sa od nich líši.

Definícia. Aritmetický koreň $n$-tého stupňa nezáporného čísla $a$ je nezáporné číslo $b$ také, že $((b)^(n))=a$.

Ako vidíte, parita nás už nezaujíma. Namiesto toho sa objavilo nové obmedzenie: radikálny výraz je teraz vždy nezáporný a samotný koreň je tiež nezáporný.

Aby ste lepšie pochopili, ako sa aritmetický koreň líši od bežného, ​​pozrite sa na grafy štvorcovej a kubickej paraboly, ktoré už poznáme:

Oblasť vyhľadávania koreňov - nezáporné čísla

Ako vidíte, odteraz nás zaujímajú len tie časti grafov, ktoré sa nachádzajú v prvej súradnicovej štvrtine – kde sú súradnice $x$ a $y$ kladné (alebo aspoň nulové). Už sa nemusíte pozerať na indikátor, aby ste pochopili, či máme právo odmocniť záporné číslo alebo nie. Pretože so zápornými číslami sa už v zásade nepočíta.

Môžete sa opýtať: "No, prečo potrebujeme takú kastrovanú definíciu?" Alebo: "Prečo si nemôžeme vystačiť so štandardnou definíciou uvedenou vyššie?"

Uvediem len jednu vlastnosť, kvôli ktorej sa nová definícia stáva vhodnou. Napríklad pravidlo umocňovania:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Poznámka: radikálny výraz môžeme zvýšiť na ľubovoľnú mocninu a zároveň vynásobiť koreňový exponent rovnakou mocninou – a výsledkom bude rovnaké číslo! Tu je niekoľko príkladov:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

No čo je na tom zlé? Prečo sme to nemohli urobiť skôr? Tu je dôvod. Uvažujme jednoduchý výraz: $\sqrt(-2)$ je číslo, ktoré je v našom klasickom zmysle celkom normálne, ale z hľadiska aritmetického koreňa absolútne neprijateľné. Skúsme to previesť:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Ako vidíte, v prvom prípade sme vybrali mínus spod radikálu (máme plné právo, pretože indikátor je nepárny) av druhom prípade sme použili vyššie uvedený vzorec. Tie. z pohľadu matematiky sa všetko robí podľa pravidiel.

WTF?! Ako môže byť rovnaké číslo kladné aj záporné? V žiadnom prípade. Ide len o to, že vzorec umocňovania, ktorý funguje skvele pre kladné čísla a nulu, začína v prípade záporných čísel dávať úplnú herézu.

Tu, aby sa zbavili takejto nejednoznačnosti, prišli s aritmetickými koreňmi. Je im venovaná samostatná veľká lekcia, kde podrobne zvážime všetky ich vlastnosti. Takže teraz sa nimi nebudeme zaoberať - lekcia sa aj tak ukázala ako príliš dlhá.

Algebraický koreň: pre tých, ktorí chcú vedieť viac

Dlho som premýšľal: urobiť túto tému v samostatnom odseku alebo nie. Nakoniec som sa rozhodol odísť odtiaľto. Tento materiál je určený pre tých, ktorí chcú ešte lepšie pochopiť korene - už nie na priemernej „školskej“ úrovni, ale na úrovni blízkej olympiáde.

Takže: okrem „klasickej“ definície koreňa $n$-tého stupňa z čísla a s tým spojeného delenia na párne a nepárne ukazovatele existuje aj „dospelejšia“ definícia, ktorá nezávisí od parity a iné jemnosti vôbec. Toto sa nazýva algebraický koreň.

Definícia. Algebraická $n$-tá odmocnina ľubovoľného $a$ je množina všetkých čísel $b$ takých, že $((b)^(n))=a$. Pre takéto korene neexistuje dobre zavedené označenie, takže navrch stačí dať pomlčku:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\vľavo\( b\vľavo| b\v \mathbb(R);((b)^(n))=a \vpravo. \vpravo\) \]

Zásadný rozdiel oproti štandardnej definícii uvedenej na začiatku lekcie je v tom, že algebraický koreň nie je konkrétne číslo, ale množina. A keďže pracujeme s reálnymi číslami, táto množina je len troch typov:

1. Prázdna súprava. Vyskytuje sa, keď je potrebné nájsť algebraický koreň párneho stupňa zo záporného čísla;
2. Sada pozostávajúca z jedného prvku. Do tejto kategórie spadajú všetky korene nepárnych mocnín, ako aj odmocniny párnych mocnín od nuly;
3. Nakoniec môže množina obsahovať dve čísla – rovnaké $((x)_(1))$ a $((x)_(2))=-((x)_(1))$, ktoré sme videli na graf kvadratická funkcia. V súlade s tým je takéto zarovnanie možné len pri extrakcii odmocniny párneho stupňa z kladného čísla.

Posledný prípad si zaslúži podrobnejšie posúdenie. Poďme si spočítať pár príkladov, aby sme pochopili rozdiel.

Príklad. Vypočítajte výrazy:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Riešenie. Prvý výraz je jednoduchý:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Sú to dve čísla, ktoré sú súčasťou sady. Pretože každá z nich na druhú dáva štvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Tu vidíme množinu pozostávajúcu iba z jedného čísla. Je to celkom logické, keďže exponent odmocniny je nepárny.

Nakoniec posledný výraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Máme prázdny set. Pretože neexistuje jediné reálne číslo, ktoré nám po zvýšení na štvrtú (teda párnu!) mocninu dá záporné číslo −16.

Poznámka na záver. Poznámka: nie náhodou som všade poznamenal, že pracujeme s reálnymi číslami. Pretože existujú aj komplexné čísla - je tam celkom možné vypočítať $\sqrt(-16)$ a mnoho ďalších podivných vecí.

V moderných školských osnovách matematiky sa však komplexné čísla takmer nikdy nenachádzajú. Z väčšiny učebníc boli vynechané, pretože naši úradníci považujú túto tému za „príliš ťažké na pochopenie“.

To je všetko. V ďalšej lekcii sa pozrieme na všetky kľúčové vlastnosti koreňov a nakoniec sa naučíme, ako zjednodušiť iracionálne výrazy. :)