Šaknies ir racionalaus laipsnio testas 10. N laipsnio šaknis: pagrindiniai apibrėžimai. Pamoka ir pranešimas tema: "N-to laipsnio šaknies savybės. Teoremos"

Pamoka ir pranešimas tema: "N-to laipsnio šaknies savybės. Teoremos"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 11 klasei
Interaktyvus vadovas 9-11 klasėms „Trigonometrija“
Interaktyvus vadovas 10-11 klasėms „Logaritmai“

N-ojo laipsnio šaknies savybės. Teoremos

Vaikinai, mes toliau tiriame tikrojo skaičiaus n-ojo laipsnio šaknis. Kaip ir beveik visi matematiniai objektai, n-ojo laipsnio šaknys turi tam tikrų savybių, šiandien jas ir tyrinėsime.
Visos mūsų nagrinėjamos savybės yra suformuluotos ir įrodytos tik neneigiamoms kintamųjų, esančių po šaknies ženklu, reikšmėmis.
Nelyginio šaknies eksponento atveju jie taip pat galioja neigiamiems kintamiesiems.

1 teorema. Dviejų neneigiamų skaičių sandaugos n-oji šaknis yra lygi šių skaičių n-osios šaknų sandaugai: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $ .

Įrodykime teoremą.
Įrodymas. Vaikinai, norėdami įrodyti teoremą, įveskime naujus kintamuosius, pažymėkite:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Turime įrodyti, kad $x=y*z$.
Atminkite, kad taip pat galioja šios tapatybės:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Tada taip pat galioja tokia tapatybė: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
Dviejų neneigiamų skaičių ir jų rodiklių laipsniai yra lygūs, tada ir pačių laipsnių bazės yra lygios. Taigi $x=y*z$, ką ir reikėjo įrodyti.

2 teorema. Jei $a≥0$, $b>0$ ir n yra natūralusis skaičius, didesnis nei 1, tada galioja ši lygybė: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

Tai yra, dalinio n-oji šaknis yra lygi n-osios šaknies daliniui.

Įrodymas.
Norėdami tai įrodyti, naudojame supaprastintą schemą lentelės pavidalu:

N-osios šaknies skaičiavimo pavyzdžiai

Pavyzdys.
Apskaičiuokite: $\sqrt(16*81*256)$.
Sprendimas. Naudokime 1 teoremą: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Pavyzdys.
Apskaičiuokite: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Sprendimas. Radikaliąją išraišką pavaizduokime kaip netinkamą trupmeną: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Naudokime 2 teoremą: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Pavyzdys.
Apskaičiuoti:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Sprendimas:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

3 teorema. Jei $a≥0$, k ir n yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tai lygybė teisinga: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Norint pakelti šaknį iki natūralios galios, pakanka iki šios galios pakelti radikalią išraišką.

Įrodymas.
Panagrinėkime ypatingą atvejį, kai $k=3$. Naudokime 1 teoremą.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
Tą patį galima įrodyti bet kuriuo kitu atveju. Vaikinai, įrodykite patys tuo atveju, kai $k=4$ ir $k=6$.

4 teorema. Jei $a≥0$ b n,k yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tai lygybė teisinga: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų rodiklius.

Įrodymas.
Dar kartą trumpai įrodykime naudodamiesi lentele. Norėdami tai įrodyti, naudojame supaprastintą schemą lentelės pavidalu:

Pavyzdys.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

5 teorema. Jei šaknies ir šaknies išraiškos indeksai padauginami iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

Įrodymas.
Mūsų teoremos įrodymo principas yra toks pat kaip ir kituose pavyzdžiuose. Pristatome naujus kintamuosius:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (pagal apibrėžimą).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (pagal apibrėžimą).
Paskutinę lygybę keliame į galią p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Gavau:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Tai yra $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, kas turėjo būti įrodyta.

Pavyzdžiai:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (padalinta iš 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (padalinta iš 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (padauginta iš 3).

Pavyzdys.
Vykdykite veiksmus: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Sprendimas.
Šaknų rodikliai yra skirtingi skaičiai, todėl negalime naudoti 1 teoremos, tačiau taikydami 5 teoremą galime gauti vienodus eksponentus.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (padauginta iš 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (padauginta iš 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Savarankiško sprendimo užduotys

1. Apskaičiuokite: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Apskaičiuokite: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Apskaičiuokite:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Supaprastinkite:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Atlikite veiksmus: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Norint sėkmingai panaudoti šaknies ištraukimo operaciją praktikoje, reikia susipažinti su šios operacijos savybėmis.
Visos savybės yra suformuluotos ir įrodytos tik neneigiamoms kintamųjų, esančių po šaknies ženklais, reikšmėmis.

1 teorema. Dviejų neneigiamų mikroschemų rinkinių sandaugos n-oji šaknis (n=2, 3, 4,...) yra lygi šių skaičių n-osios šaknų sandaugai:

komentaras:

1. 1 teorema galioja tuo atveju, kai radikalioji išraiška yra daugiau nei dviejų neneigiamų skaičių sandauga.

2 teorema.Jeigu, ir n yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, tada lygybė

Trumpai(nors ir netiksli) formuluotė, kurią patogiau naudoti praktiškai: frakcijos šaknis lygi šaknų daliai.

1 teorema leidžia padauginti m tik to paties laipsnio šaknys , t.y. tik šaknys su tuo pačiu rodikliu.

3 teorema. Jeigu ,k yra natūralusis skaičius, o n yra natūralusis skaičius, didesnis už 1, tada lygybė

Kitaip tariant, norint pakelti šaknį iki prigimtinės galios, pakanka iki šios galios pakelti šaknies išraišką.
Tai yra 1 teoremos pasekmė. Iš tiesų, pavyzdžiui, kai k = 3 gauname

4 teorema. Jeigu ,k, n yra natūralūs skaičiai, didesni už 1, tada lygybė

Kitaip tariant, norint išgauti šaknį iš šaknies, pakanka padauginti šaknų rodiklius.
Pavyzdžiui,

Būk atsargus! Sužinojome, kad su šaknimis galima atlikti keturias operacijas: daugyba, dalyba, eksponencija ir šaknies ištraukimas (iš šaknies). Bet kaip dėl šaknų pridėjimo ir atėmimo? Negali būti.
Pavyzdžiui, jūs negalite rašyti vietoj Indeed, bet tai akivaizdu

5 teorema. Jeigu šaknies ir šaknies išraiškos rodikliai dauginami arba dalijami iš to paties natūraliojo skaičiaus, tada šaknies reikšmė nepasikeis, t.y.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdys Apskaičiuoti

Sprendimas. Naudodami pirmąją šaknų savybę (1 teorema), gauname:

2 pavyzdys Apskaičiuoti
Sprendimas. Konvertuokite mišrų skaičių į netinkamą trupmeną.
Mes turime Naudojant antrąją šaknų savybę ( 2 teorema ), mes gauname:

3 pavyzdys Apskaičiuoti:

Sprendimas. Bet kuri algebros formulė, kaip gerai žinote, naudojama ne tik „iš kairės į dešinę“, bet ir „iš dešinės į kairę“. Taigi, pirmoji šaknų savybė reiškia, kad ji gali būti pavaizduota kaip ir, atvirkščiai, gali būti pakeista išraiška. Tas pats pasakytina ir apie antrąją šaknų savybę. Turėdami tai omenyje, atlikime skaičiavimus.

Sveikiname: šiandien analizuosime šaknis – vieną labiausiai jaudinančių 8 klasės temų. :)

Daugelis žmonių susipainioja dėl šaknų ne dėl to, kad jos yra sudėtingos (o tai sudėtinga – pora apibrėžimų ir dar pora savybių), o todėl, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių šaknys apibrėžiamos tokiais laukiniais simboliais, kuriuos gali tik patys vadovėlių autoriai. suprask šį rašymą. Ir net tada tik su buteliu gero viskio. :)

Todėl dabar pateiksiu teisingiausią ir kompetentingiausią šaknies apibrėžimą - vienintelį, kurį tikrai reikia atsiminti. Ir tik tada paaiškinsiu: kodėl viso to reikia ir kaip tai pritaikyti praktikoje.

Tačiau pirmiausia atsiminkite vieną svarbų dalyką, kurį dėl kokių nors priežasčių daugelis vadovėlių rengėjų „pamiršta“:

Šaknys gali būti lyginio laipsnio (mūsų mėgstamiausias $\sqrt(a)$, taip pat bet koks $\sqrt(a)$ ir net $\sqrt(a)$) ir nelyginio laipsnio (bet koks $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ ir tt). Ir nelyginio laipsnio šaknies apibrėžimas šiek tiek skiriasi nuo lyginio.

Čia, šitame sušiktame „kiek kitaip“, slepiasi, ko gero, 95% visų klaidų ir nesusipratimų, susijusių su šaknimis. Taigi kartą ir visiems laikams išsiaiškinkime terminiją:

Apibrėžimas. Net šaknis n nuo skaičiaus $a$ yra bet koks ne neigiamas toks skaičius $b$, kad $((b)^(n))=a$. O nelyginio laipsnio šaknis iš to paties skaičiaus $a$ paprastai yra bet koks skaičius $b$, kuriam galioja ta pati lygybė: $((b)^(n))=a$.

Bet kokiu atveju šaknis žymima taip:

\(a)\]

Skaičius $n$ tokiame žymėjime vadinamas šaknies eksponentu, o skaičius $a$ – radikaliąja išraiška. Konkrečiai, už $n=2$ gauname „mėgstamiausią“ kvadratinę šaknį (beje, tai lyginio laipsnio šaknis), o už $n=3$ gauname kubinę šaknį (nelyginį laipsnį), kuri taip pat dažnai randama uždaviniuose ir lygtyse.

Pavyzdžiai. Klasikiniai kvadratinių šaknų pavyzdžiai:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(lygiuoti)\]

Beje, $\sqrt(0)=0$ ir $\sqrt(1)=1$. Tai gana logiška, nes $((0)^(2))=0$ ir $((1)^(2))=1$.

Kubinės šaknys taip pat dažnos - nebijokite jų:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(lygiuoti)\]

Na, pora „egzotiškų pavyzdžių“:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(lygiuoti)\]

Jei nesuprantate, kuo skiriasi lyginis ir nelyginis laipsnis, dar kartą perskaitykite apibrėžimą. Tai labai svarbu!

Tuo tarpu mes apsvarstysime vieną nemalonią šaknų savybę, dėl kurios reikėjo įvesti atskirą lyginių ir nelyginių eksponentų apibrėžimą.

Kam mums apskritai reikalingos šaknys?

Perskaitę apibrėžimą, daugelis mokinių paklaus: „Ką rūkė matematikai, kai tai sugalvojo? Ir iš tikrųjų: kam mums reikalingos visos šios šaknys?

Norėdami atsakyti į šį klausimą, trumpam grįžkime į pradinę mokyklą. Prisiminkite: tais tolimais laikais, kai medžiai buvo žalesni, o koldūnai skanesni, mūsų pagrindinis rūpestis buvo teisingai padauginti skaičius. Na, kažkas tokio „penki iš penkių – dvidešimt penki“, tai ir viskas. Bet juk skaičius galima padauginti ne poromis, o trynukais, keturiais ir apskritai ištisomis aibėmis:

\[\begin(lygiuoti) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end (lygiuoti)\]

Tačiau tai ne esmė. Gudrybė kitokia: matematikai yra tinginiai, todėl dešimties penketukų dauginimą jie turėjo užrašyti taip:

Taigi jie sugalvojo laipsnius. Kodėl faktorių skaičiaus neįrašius kaip viršutinį indeksą, o ne kaip ilgą eilutę? Kaip šis:

Tai labai patogu! Visi skaičiavimai sumažinami kelis kartus, ir jūs negalite išleisti krūvos pergamentinių sąsiuvinių lapų, kad užsirašytumėte 5 183 . Toks įrašas buvo vadinamas skaičiaus laipsniu, jame buvo rasta krūva savybių, tačiau laimė pasirodė trumpalaikė.

Po grandiozinio išgertuvės, kuri buvo surengta kaip tik dėl laipsnių „atradimo“, kažkoks ypač sužalotas matematikas staiga paklausė: „O jeigu žinome skaičiaus laipsnį, bet nežinome paties skaičiaus? Iš tiesų, jei žinome, kad, pavyzdžiui, tam tikras skaičius $b$ duoda 243 iki 5 laipsnio, kaip galime atspėti, kam yra lygus pats skaičius $b$?

Ši problema pasirodė daug globalesnė, nei gali pasirodyti iš pirmo žvilgsnio. Nes paaiškėjo, kad daugumai „gatavų“ laipsnių tokių „pradinių“ skaičių nėra. Spręskite patys:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\RightArrow b=4\cdot 4\cdot 4\RightArrow b=4. \\ \end(lygiuoti)\]

O kas, jei $((b)^(3)) = 50 $? Pasirodo, reikia rasti tam tikrą skaičių, kurį padauginus iš savęs tris kartus, gautume 50. Bet kas tai yra skaičius? Jis aiškiai didesnis nei 3, nes 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. T.y. šis skaičius yra kažkur tarp trijų ir keturių, bet kam jis lygus - FIG jūs suprasite.

Būtent todėl matematikai sugalvojo $n$-ąją šaknis. Štai kodėl buvo pristatyta radikali piktograma $\sqrt(*)$. Pažymėti tą patį skaičių $b$, kuris pagal nurodytą laipsnį duos mums anksčiau žinomą reikšmę

\[\sqrt[n](a)=b\Rodyklė dešinėn ((b)^(n))=a\]

Nesiginčiju: dažnai šios šaknys yra lengvai svarstomos – aukščiau matėme keletą tokių pavyzdžių. Tačiau daugeliu atvejų, jei galvojate apie savavališką skaičių ir bandote iš jo išgauti savavališko laipsnio šaknį, jūsų laukia žiaurus bėdas.

Kas ten! Netgi paprasčiausias ir žinomiausias $\sqrt(2)$ negali būti pavaizduotas mums įprasta forma – kaip sveikasis skaičius arba trupmena. Ir jei įvesite šį skaičių į skaičiuotuvą, pamatysite tai:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kaip matote, po kablelio yra begalinė skaičių seka, kuri nepaklūsta jokiai logikai. Žinoma, galite suapvalinti šį skaičių, kad greitai palygintumėte su kitais skaičiais. Pavyzdžiui:

\[\sqrt(2)=1,4142...\apytiksliai 1,4 \lt 1,5\]

Arba štai kitas pavyzdys:

\[\sqrt(3)=1,73205...\apytiksliai 1,7 \gt 1,5\]

Tačiau visi šie apvalinimai, pirma, yra gana grubūs; ir antra, reikia mokėti dirbti ir su apytiksliais dydžiais, antraip gali pasigauti krūvą neakivaizdžių klaidų (beje, lyginimo ir apvalinimo įgūdžiai būtinai tikrinami profilio egzamine).

Todėl rimtoje matematikoje negalima išsiversti be šaknų - jie yra vienodi visų realiųjų skaičių $\mathbb(R)$ aibės atstovai, kaip ir trupmenos bei sveikieji skaičiai, kuriuos mes jau seniai žinome.

Neįmanoma pateikti šaknies kaip formos $\frac(p)(q)$ trupmenos reiškia, kad ši šaknis nėra racionalus skaičius. Tokie skaičiai vadinami neracionaliais ir negali būti tiksliai pavaizduoti nebent naudojant radikalą ar kitas specialiai tam skirtas konstrukcijas (logaritmus, laipsnius, ribas ir pan.). Bet apie tai plačiau kitą kartą.

Apsvarstykite keletą pavyzdžių, kai po visų skaičiavimų atsakyme vis tiek liks neracionalūs skaičiai.

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\apytiksliai 2 236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\apytiksliai -1 2599... \\ \end(lygiuoti)\]

Natūralu, kad pagal šaknies išvaizdą beveik neįmanoma atspėti, kurie skaičiai bus po kablelio. Tačiau skaičiuoti galima ir skaičiuotuvu, tačiau net ir pažangiausia datos skaičiuoklė mums pateikia tik kelis pirmuosius neracionalaus skaičiaus skaitmenis. Todėl daug teisingiau atsakymus rašyti $\sqrt(5)$ ir $\sqrt(-2)$.

Tam jie buvo sugalvoti. Kad būtų lengviau užrašyti atsakymus.

Kodėl reikalingi du apibrėžimai?

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai jau pastebėjo, kad visos pavyzdžiuose pateiktos kvadratinės šaknys paimtos iš teigiamų skaičių. Na, bent jau nuo nulio. Tačiau kubo šaknys ramiai išgaunamos iš absoliučiai bet kokio skaičiaus – net teigiamo, netgi neigiamo.

Kodėl tai vyksta? Pažvelkite į funkcijos $y=((x)^(2))$ grafiką:

Kvadratinės funkcijos grafikas pateikia dvi šaknis: teigiamą ir neigiamą

Pabandykime apskaičiuoti $\sqrt(4)$ naudodami šį grafiką. Tam grafike nubrėžiama horizontali linija $y=4$ (pažymėta raudonai), kuri kerta parabolę dviejuose taškuose: $((x)_(1))=2$ ir $((x) _(2)) = -2 $. Tai gana logiška, nes

Viskas aišku su pirmuoju skaičiumi - jis yra teigiamas, todėl tai yra šaknis:

Bet ką tada daryti su antruoju punktu? Ar 4 turi dvi šaknis vienu metu? Juk jei skaičių −2 padalinsime kvadratu, gausime ir 4. Kodėl tada neparašius $\sqrt(4)=-2$? O kodėl mokytojai į tokius įrašus žiūri taip, lyg norėtų tave suvalgyti? :)

Bėda ta, kad jei nebus keliamos papildomos sąlygos, tai ketvertukas turės dvi kvadratines šaknis – teigiamą ir neigiamą. Ir bet kuris teigiamas skaičius taip pat turės du iš jų. Bet neigiami skaičiai iš viso neturės šaknų - tai matyti iš to paties grafiko, nes parabolė niekada nenukrenta žemiau ašies y, t.y. nepriima neigiamų verčių.

Panaši problema iškyla visoms šaknims su lygiu eksponentu:

1. Griežtai kalbant, kiekvienas teigiamas skaičius turės dvi šaknis su lyginiu eksponentu $n$;
2. Iš neigiamų skaičių šaknis su net $n$ iš viso neišgaunama.

Štai kodėl lyginės šaknies $n$ apibrėžimas konkrečiai numato, kad atsakymas turi būti neneigiamas skaičius. Taip atsikratome dviprasmybių.

Tačiau nelyginiams $n$ tokios problemos nėra. Norėdami tai pamatyti, pažvelkime į funkcijos $y=((x)^(3))$ grafiką:

Kubinė parabolė įgyja bet kokią reikšmę, todėl kubo šaknį galima paimti iš bet kurio skaičiaus

Iš šio grafiko galima padaryti dvi išvadas:

1. Kubinės parabolės šakos, skirtingai nei įprastos, eina į begalybę abiem kryptimis – ir aukštyn, ir žemyn. Todėl, kad ir kokiame aukštyje nubrėžtume horizontalią liniją, ši linija tikrai susikirs su mūsų grafiku. Todėl kubo šaknį visada galima paimti absoliučiai iš bet kokio skaičiaus;
2. Be to, tokia sankryža visada bus unikali, todėl jums nereikės galvoti, kurį skaičių laikyti „teisinga“ šaknimi, o kurį – balą. Štai kodėl nelyginio laipsnio šaknų apibrėžimas yra paprastesnis nei lyginio (nėra neneigiamumo reikalavimo).

Gaila, kad daugumoje vadovėlių šie paprasti dalykai nepaaiškinami. Vietoj to, mūsų smegenys pradeda sklandyti su visomis aritmetinėmis šaknimis ir jų savybėmis.

Taip, aš nesiginčiju: kas yra aritmetinė šaknis – taip pat reikia žinoti. Ir apie tai išsamiai pakalbėsiu atskiroje pamokoje. Šiandien apie tai irgi pakalbėsime, nes be jos visi pamąstymai apie $n$-osios daugumos šaknis būtų neišsamūs.

Bet pirmiausia turite aiškiai suprasti apibrėžimą, kurį pateikiau aukščiau. Priešingu atveju dėl terminų gausos galvoje prasidės tokia netvarka, kad galiausiai išvis nieko nesuprasi.

Ir viskas, ką jums reikia suprasti, yra skirtumas tarp lyginių ir nelyginių skaičių. Todėl dar kartą surinksime viską, ką tikrai reikia žinoti apie šaknis:

1. Lyginė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus ir pati visada yra neneigiamas skaičius. Neigiamų skaičių tokia šaknis neapibrėžta.
2. Tačiau nelyginio laipsnio šaknis egzistuoja iš bet kurio skaičiaus ir pati gali būti bet koks skaičius: teigiamiems skaičiams jis yra teigiamas, o neigiamiems skaičiams, kaip rodo viršutinė riba, neigiama.

Ar tai sunku? Ne, tai nėra sunku. Tai aišku? Taip, tai akivaizdu! Todėl dabar šiek tiek pasipraktikuosime su skaičiavimais.

Pagrindinės savybės ir apribojimai

Šaknys turi daug keistų savybių ir apribojimų – tai bus atskira pamoka. Todėl dabar mes apsvarstysime tik svarbiausią „lustą“, kuris taikomas tik šaknims su lygiu eksponentu. Šią savybę užrašome formulės forma:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\right|\]

Kitaip tariant, jei skaičių padidinsime iki lyginės laipsnio, o iš to ištrauksime to paties laipsnio šaknį, gausime ne pradinį skaičių, o jo modulį. Tai paprasta teorema, kurią nesunku įrodyti (pakanka atskirai apsvarstyti neneigiamus $x$, o tada atskirai apsvarstyti neigiamus). Mokytojai apie tai nuolat kalba, tai pateikiama kiekviename mokykliniame vadovėlyje. Tačiau kai tik reikia išspręsti neracionalias lygtis (t. y. lygtis, kuriose yra radikalo ženklas), mokiniai kartu pamiršta šią formulę.

Norėdami išsamiai suprasti problemą, minutei pamirškime visas formules ir pabandykite suskaičiuoti du skaičius į priekį:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Tai labai paprasti pavyzdžiai. Pirmąjį pavyzdį išspręs dauguma žmonių, bet antruoju – daugelis. Kad be problemų išspręstumėte tokius nešvarumus, visada apsvarstykite procedūrą:

1. Pirma, skaičius padidinamas iki ketvirtosios laipsnio. Na, tai kažkaip lengva. Bus gautas naujas skaičius, kurį galima rasti net daugybos lentelėje;
2. Ir dabar iš šio naujo skaičiaus reikia išgauti ketvirtojo laipsnio šaknį. Tie. nėra šaknų ir laipsnių „sumažinimo“ – tai nuoseklūs veiksmai.

Panagrinėkime pirmą išraišką: $\sqrt(((3)^(4)))$. Akivaizdu, kad pirmiausia turite apskaičiuoti išraišką po šaknimi:

\[((3)^(4))=3\ctaškas 3\ctaškas 3\ctaškas 3=81\]

Tada ištraukiame ketvirtąją skaičiaus 81 šaknį:

Dabar padarykime tą patį su antrąja išraiška. Pirmiausia skaičių −3 pakeliame iki ketvirtosios laipsnio, kuriam reikia jį padauginti iš savęs 4 kartus:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ kairysis(-3 \dešinė)=81\]

Gavome teigiamą skaičių, nes bendras minusų skaičius gaminyje yra 4 vnt., ir jie visi vienas kitą panaikins (juk minusas prie minuso duoda pliusą). Tada dar kartą ištraukite šaknį:

Iš principo šios eilutės nebūtų galima parašyti, nes nenuostabu, kad atsakymas bus toks pat. Tie. tos pačios lygiosios galios lygi šaknis „sudegina“ minusus, ir šia prasme rezultatas nesiskiria nuo įprasto modulio:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \dešinė|=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Šie skaičiavimai gerai sutampa su lyginio laipsnio šaknies apibrėžimu: rezultatas visada yra neneigiamas, o radikalinis ženklas taip pat visada yra neneigiamas skaičius. Priešingu atveju šaknis nėra apibrėžta.

Pastaba dėl operacijų tvarkos

1. Žymėjimas $\sqrt(((a)^(2)))$ reiškia, kad iš pradžių skaičių $a$ paimame kvadratu, o tada paimame gautos reikšmės kvadratinę šaknį. Todėl galime būti tikri, kad neneigiamas skaičius visada yra po šaknies ženklu, nes $((a)^(2))\ge 0$ vis tiek;
2. Tačiau žymėjimas $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, priešingai, reiškia, kad iš tam tikro skaičiaus $a$ pirmiausia ištraukiame šaknį ir tik po to rezultatą kvadratu. Todėl skaičius $a$ jokiu būdu negali būti neigiamas – tai privalomas reikalavimas, įtrauktas į apibrėžimą.

Taigi jokiu būdu nereikėtų neapgalvotai mažinti šaknų ir laipsnių, taip tariamai „supaprastinant“ pirminę išraišką. Nes jei po šaknimi yra neigiamas skaičius, o jo rodiklis lyginis, gausime daug problemų.

Tačiau visos šios problemos aktualios tik lygiems rodikliams.

Minuso ženklo pašalinimas iš po šaknies ženklo

Natūralu, kad šaknys su nelyginiais rodikliais taip pat turi savo bruožą, kurio iš principo lyginiams neegzistuoja. Būtent:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Trumpai tariant, iš po nelyginio laipsnio šaknų ženklo galite išimti minusą. Tai labai naudinga savybė, leidžianti „išmesti“ visus minusus:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(lygiuoti)\]

Ši paprasta savybė labai supaprastina daugelį skaičiavimų. Dabar jums nereikia jaudintis: o jei neigiama išraiška pateko po šaknimi, o laipsnis šaknyje pasirodė lygus? Užtenka „išmesti“ visus minusus už šaknų ribų, po to juos galima dauginti vienas iš kito, dalyti ir apskritai padaryti daug įtartinų dalykų, kurie „klasikinių“ šaknų atveju garantuotai prives mus prie klaidos. .

Ir čia pasirodo kitas apibrėžimas – tas pats, kuriuo dauguma mokyklų pradeda neracionalių posakių tyrimą. Ir be kurio mūsų samprotavimai būtų neišsamūs. Susitikti!

aritmetinė šaknis

Trumpam manykime, kad po šaknies ženklu gali būti tik teigiami skaičiai arba, kraštutiniais atvejais, nulis. Įvertinkime lyginius / nelyginius rodiklius, įvertinkime visus aukščiau pateiktus apibrėžimus – dirbsime tik su neneigiamais skaičiais. Kas tada?

Ir tada gauname aritmetinę šaknį – ji iš dalies susikerta su mūsų „standartiniais“ apibrėžimais, bet vis tiek skiriasi nuo jų.

Apibrėžimas. Neneigiamo skaičiaus $a$ $n$-ojo laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius $b$, kad $((b)^(n))=a$.

Kaip matote, mūsų nebedomina paritetas. Vietoj to atsirado naujas apribojimas: radikali išraiška dabar visada yra neneigiama, o pati šaknis taip pat yra neneigiama.

Norėdami geriau suprasti, kuo aritmetinė šaknis skiriasi nuo įprastos, pažvelkite į mums jau žinomus kvadratinės ir kubinės parabolės grafikus:

Šaknies paieškos sritis – neneigiami skaičiai

Kaip matote, nuo šiol mus domina tik tie grafikų fragmentai, kurie yra pirmajame koordinačių ketvirtyje – kur koordinatės $x$ ir $y$ yra teigiamos (arba bent jau nulis). Jums nebereikia žiūrėti į indikatorių, kad suprastumėte, ar mes turime teisę įšaknyti neigiamą skaičių, ar ne. Nes neigiami skaičiai iš esmės nebelaikomi.

Galite paklausti: „Na, kam mums reikia tokio kastruoto apibrėžimo? Arba: „Kodėl mes negalime susitvarkyti su aukščiau pateiktu standartiniu apibrėžimu?

Na, aš duosiu tik vieną savybę, dėl kurios naujas apibrėžimas tampa tinkamas. Pavyzdžiui, eksponentiškumo taisyklė:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Atkreipkite dėmesį: radikaliąją išraišką galime pakelti iki bet kokios laipsnio ir tuo pačiu padauginti šaknies eksponentą iš tos pačios laipsnio – ir rezultatas bus toks pat! Štai keletas pavyzdžių:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(lygiuoti)\]

Na, kas čia blogo? Kodėl negalėjome to padaryti anksčiau? Štai kodėl. Apsvarstykite paprastą išraišką: $\sqrt(-2)$ yra skaičius, kuris yra gana normalus mūsų klasikine prasme, bet visiškai nepriimtinas aritmetinės šaknies požiūriu. Pabandykime konvertuoti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(lygiuoti)$

Kaip matote, pirmuoju atveju iš po radikalo išėmėme minusą (turime visas teises, nes rodiklis nelyginis), o antruoju panaudojome aukščiau pateiktą formulę. Tie. matematikos požiūriu viskas daroma pagal taisykles.

WTF?! Kaip tas pats skaičius gali būti teigiamas ir neigiamas? Negali būti. Tiesiog eksponencijos formulė, kuri puikiai tinka teigiamiems skaičiams ir nuliui, neigiamų skaičių atveju pradeda kelti visišką ereziją.

Čia, norėdami atsikratyti tokio neaiškumo, jie sugalvojo aritmetines šaknis. Jiems skirta atskira didelė pamoka, kurioje išsamiai aptariame visas jų savybes. Taigi dabar ties jais nesigilinsime – pamoka vis tiek pasirodė per ilga.

Algebrinė šaknis: norintiems sužinoti daugiau

Ilgai galvojau: padaryti šią temą atskira pastraipa ar ne. Galiausiai nusprendžiau čia išvykti. Ši medžiaga skirta tiems, kurie nori dar geriau suprasti šaknis – jau ne vidutiniame „mokykliniame“, o olimpiadai artimame lygyje.

Taigi: be „klasikinio“ skaičiaus $n$-ojo laipsnio šaknies apibrėžimo ir su juo susijusio padalijimo į lyginius ir nelyginius rodiklius, yra ir labiau „suaugusiųjų“ apibrėžimas, kuris nepriklauso nuo pariteto ir išvis kitų subtilybių. Tai vadinama algebrine šaknimi.

Apibrėžimas. Bet kurio $a$ algebrinė $n$-oji šaknis yra visų skaičių $b$ rinkinys, kad $((b)^(n))=a$. Tokioms šaknims nėra nusistovėjusio pavadinimo, todėl tiesiog uždėkite brūkšnį viršuje:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Esminis skirtumas nuo standartinio apibrėžimo, pateikto pamokos pradžioje, yra tas, kad algebrinė šaknis yra ne konkretus skaičius, o aibė. Kadangi dirbame su tikraisiais skaičiais, šis rinkinys yra tik trijų tipų:

1. Tuščias komplektas. Atsiranda, kai reikia rasti lyginio laipsnio algebrinę šaknį iš neigiamo skaičiaus;
2. Rinkinys, susidedantis iš vieno elemento. Į šią kategoriją patenka visos nelyginių galių šaknys, taip pat lyginių galių šaknys nuo nulio;
3. Galiausiai rinkinyje gali būti du skaičiai – tie patys $((x)_(1))$ ir $((x)_(2))=-((x)_(1))$, kuriuos matėme diagramos kvadratinė funkcija. Atitinkamai, toks lygiavimas galimas tik iš teigiamo skaičiaus išimant lyginio laipsnio šaknį.

Paskutinis atvejis nusipelno išsamesnio svarstymo. Suskaičiuokime keletą pavyzdžių, kad suprastume skirtumą.

Pavyzdys. Apskaičiuokite išraiškas:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Sprendimas. Pirmoji išraiška paprasta:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Tai du skaičiai, kurie yra rinkinio dalis. Nes kiekvienas iš jų kvadratu duoda ketvertą.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Čia matome rinkinį, kurį sudaro tik vienas skaičius. Tai gana logiška, nes šaknies rodiklis yra nelyginis.

Galiausiai paskutinė išraiška:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Turime tuščią rinkinį. Nes nėra nė vieno realaus skaičiaus, kurį padidinus iki ketvirtosios (tai yra lyginės!) galios, gautume neigiamą skaičių −16.

Baigiamoji pastaba. Atkreipkite dėmesį: neatsitiktinai visur pažymėjau, kad dirbame su tikraisiais skaičiais. Kadangi yra ir kompleksinių skaičių - ten visiškai įmanoma suskaičiuoti $\sqrt(-16)$ ir daug kitų keistų dalykų.

Tačiau šiuolaikinėje mokyklinėje matematikos programoje sudėtingų skaičių beveik niekada nerandama. Daugumoje vadovėlių jie buvo praleisti, nes mūsų pareigūnai mano, kad ši tema „per sunkiai suprantama“.

Tai viskas. Kitoje pamokoje apžvelgsime visas pagrindines šaknų savybes ir pagaliau išmoksime supaprastinti neracionalias išraiškas. :)