ルートと有理次数テスト 10. 次数 n のルート: 基本的な定義。 トピックに関するレッスンとプレゼンテーション：「n次のルートのプロパティ。定理」

トピックに関するレッスンとプレゼンテーション：「n次のルートのプロパティ。定理」

追加資料
親愛なるユーザーの皆様、コメント、フィードバック、提案を忘れずに残してください! すべての資料は、ウイルス対策プログラムによってチェックされます。

11年生向けのオンラインストア「インテグラル」の教材とシミュレーター
9 年生から 11 年生向けのインタラクティブなマニュアル「三角法」
10-11 年生向けの対話型マニュアル「対数」

n 次のルートのプロパティ。 定理

みんな、実数のn次の根を研究し続けています。 ほとんどすべての数学オブジェクトと同様に、n 次の根にはいくつかのプロパティがあります。今日はそれらを調べます。
考慮されるすべてのプロパティは、ルート記号の下に含まれる変数の負でない値に対してのみ定式化され、証明されます。
ルート指数が奇数の場合、それらは負の変数にも当てはまります。

定理 1. 2 つの非負数の積の n 乗根は、これらの数の n 乗根の積に等しい: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n]( b) $ .

定理を証明しましょう。
証拠。 みんな、定理を証明するために、新しい変数を導入しましょう。
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
$x=y*z$ であることを証明する必要があります。
次の ID も保持されることに注意してください。
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
次に、次の恒等式も保持されます: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$。
2 つの非負数の次数とその指数が等しい場合、次数自体の底は等しくなります。 したがって、証明する必要があるのは $x=y*z$ です。

定理 2。 $a≥0$、$b>0$、n が 1 より大きい自然数の場合、次の等式が成り立ちます: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [ n](a))(\sqrt[n](b))$.

つまり、商の n 乗根は、n 乗根の商に等しくなります。

証拠。
これを証明するために、テーブルの形で単純化されたスキームを使用します。

n乗根の計算例

例。
計算: $\sqrt(16*81*256)$。
解決。 定理 1 を使用しましょう: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

例。
計算: $\sqrt(7\frac(19)(32))$。
解決。 $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
定理 2 を使用してみましょう: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

例。
計算:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
解決：
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\平方根(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

定理 3。 $a≥0$、k および n が 1 より大きい自然数の場合、等式は真です: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$。

根源を自然の力に引き上げるには、根本的な表現をこの力に引き上げれば十分です。

証拠。
$k=3$ の特殊なケースを考えてみましょう。 定理 1 を使いましょう。
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
他の場合でも同じことが証明できます。 皆さん、$k=4$ と $k=6$ の場合について自分で証明してください。

定理 4。 $a≥0$ b n,k が 1 より大きい自然数の場合、等式は真です: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$。

ルートからルートを抽出するには、ルートの指数を乗算するだけで十分です。

証拠。
表を使って簡単に証明してみましょう。 これを証明するために、テーブルの形式で単純化されたスキームを使用します。

例。
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

定理 5. ルートとルート式のインデックスが同じ自然数で乗算される場合、ルートの値は変化しません: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

証拠。
定理の証明の原理は他の例と同じです。 新しい変数を導入しましょう:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (定義による)。
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (定義による)。
最後の等号を p 乗する
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
得た:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
つまり、$\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ を証明する必要がありました。

例:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (5 で除算)。
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (2 で除算)。
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (3 倍)。

例。
アクションを実行します: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$。
解決。
根の指数は異なる数なので、定理 1 は使えませんが、定理 5 を適用することで等しい指数を得ることができます。
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (3 倍)。
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (4 倍)。
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

独立した解決のためのタスク

1. 計算: $\sqrt(32*243*1024)$。
2. $\sqrt(7\frac(58)(81))$ を計算します。
3. 計算:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. 簡素化:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b) $\sqrt(\sqrt(a))$.
c) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. 次のアクションを実行します: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$。

ルートを抽出する操作を実際にうまく使用するには、この操作のプロパティを理解する必要があります。
すべてのプロパティは、ルート記号の下に含まれる変数の負でない値に対してのみ定式化され、証明されます。

定理 1。 2 つの非負のチップセットの積の n 乗根 (n=2、3、4、...) は、これらの数値の n 乗根の積に等しくなります。

コメント：

1. 定理 1 は、基数式が 3 つ以上の非負数の積である場合にも有効です。

定理 2。もしも, n が 1 より大きい自然数の場合、等式

簡単に（不正確ですが）実際に使用するのにより便利な定式化：分数の根は根の分数に等しくなります。

定理 1 により、m を掛けることができます 同程度の根のみ 、つまり 同じ指数を持つルートのみ。

定理 3. もし ,k が自然数で n が 1 より大きい自然数の場合、等式

つまり、根を自然の力に上げるには、根の表現をこの力に上げれば十分です。
これは定理 1 の結果です。実際、たとえば、k = 3 の場合、

定理 4. もし ,k、n が 1 より大きい自然数の場合、等式

つまり、ルートからルートを抽出するには、ルートの指数を掛ければ十分です。
例えば、

気をつけて！根に対して実行できる演算は、乗算、除算、累乗、(根からの) 根の抽出の 4 つです。 しかし、根の足し算と引き算はどうでしょうか? とんでもない。
たとえば、Indeed の代わりに書くことはできませんが、

定理 5. もし 根の指標と根の式が同じ自然数で乗算または除算された場合、根の値は変化しません。

問題解決の例

例 1計算する

解決。根の最初のプロパティ (定理 1) を使用すると、次のようになります。

例 2計算する
解決。帯分数を仮分数に変換します。
ルートの 2 番目のプロパティを使用します ( 定理 2 ）、 我々が得る：

例 3計算:

解決。よく知られているように、代数の式は、「左から右へ」だけでなく、「右から左へ」も使用されます。 したがって、根の最初のプロパティは、それが次のように表現でき、逆に、次の式で置き換えることができることを意味します。 roots の 2 番目のプロパティについても同様です。 これを踏まえて計算してみましょう。

おめでとうございます: 今日はルーツを分析します - 8 年生の最も衝撃的なトピックの 1 つです。:)

多くの人が根について混乱するのは、根が複雑だからではありません (複雑です - いくつかの定義とさらにいくつかのプロパティ)。この落書きを理解してください。 それでも、良いウイスキーのボトルだけで。:)

したがって、ここで、ルートの最も正確で最も有能な定義を示します。これは、本当に覚えておく必要がある唯一のものです。 なぜこれが必要なのか、実際にどのように適用するのかを説明します。

しかし、最初に、ある重要な点を覚えておいてください。何らかの理由で、多くの教科書の編集者がそれを「忘れて」います。

根は偶数次数 (私たちのお気に入りの $\sqrt(a)$、任意の $\sqrt(a)$ および偶数 $\sqrt(a)$) および奇数次数 (任意の $\sqrt(a)$ 、$\ sqrt(a)$ など)。 また、奇数次数の根の定義は、偶数次数とは多少異なります。

ここで、このクソ「多少異なる」が隠されています。おそらく、ルーツに関連するすべてのエラーと誤解の95％です。 それでは、用語を一度だけ明確にしましょう。

意味。 偶数ルート n数字から $a$ は任意です 非負$((b)^(n))=a$ となる数値 $b$。 そして、同じ数 $a$ からの奇数次数の根は、通常、同じ等式が成り立つ任意の数 $b$ です: $((b)^(n))=a$。

いずれにせよ、ルートは次のように表されます。

\(a)\]

このような表記の数値 $n$ をルート指数と呼び、数値 $a$ を根号式と呼びます。 特に、$n=2$ の場合、「お気に入りの」平方根 (ちなみに、これは偶数次数の根) を取得し、$n=3$ の場合、立方根 (奇数次数) を取得します。これは、問題や方程式にもよく見られます。

例。 平方根の古典的な例:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(整列)\]

ちなみに、$\sqrt(0)=0$ と $\sqrt(1)=1$ です。 $((0)^(2))=0$ および $((1)^(2))=1$ であるため、これは非常に論理的です。

立方根も一般的です - それらを恐れないでください：

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(整列)\]

さて、いくつかの「エキゾチックな例」：

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(整列)\]

偶数度と奇数度の違いがわからない場合は、もう一度定義を読み直してください。 それは非常に重要です！

それまでの間、根の不快な特徴の 1 つを検討します。そのため、偶数指数と奇数指数に別々の定義を導入する必要がありました。

なぜ根が必要なのですか？

定義を読んだ後、多くの学生は次のように尋ねます。 そして本当に: なぜこれらすべてのルートが必要なのでしょうか?

この質問に答えるために、少し小学校に戻りましょう。 覚えておいてください：木がより青く、餃子がよりおいしかった遠い昔、私たちの主な関心事は、数を正しく掛けることでした. まあ、「5×5 - 25」の精神の何か、それだけです。 しかし、結局のところ、数をペアではなく、3 連、4 連、および一般的には全集合で掛けることができます。

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

しかし、これは問題ではありません。 トリックは異なります: 数学者は怠け者なので、次のように 10 の 5 の乗算を書き留める必要がありました。

それで彼らは学位を思いつきました。 因数の数を長い文字列ではなく上付き文字で書いてみませんか? このように：

とても便利です！ すべての計算は数倍に削減され、5 183 を書き留めるためにたくさんのノートの羊皮紙を使うことはできません。 そのようなエントリは数値の次数と呼ばれ、その中にたくさんのプロパティが見つかりましたが、幸福は短命であることが判明しました。

次数の「発見」についてまとめられた壮大な酒の後、特に石のような数学者が突然尋ねました。 実際、たとえばある数 $b$ が 243 の 5 乗になることがわかっている場合、その数 $b$ 自体が何に等しいかをどのように推測できるでしょうか?

この問題は、一見したよりもはるかにグローバルであることが判明しました。 「既製」の学位の大部分には、そのような「初期」の数字がないことが判明したためです。 自分で判断してください：

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(整列)\]

$((b)^(3))=50$ の場合はどうなりますか? 3 倍すると 50 になる特定の数を見つける必要があることがわかりました。しかし、この数は何でしょう? 3 3 = 27 であるため、明らかに 3 より大きくなります。< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. つまり この数は3から4の間のどこかにありますが、それが何に等しいか-図は理解できます。

これがまさに、数学者が $n$ 番目の根を思いついた理由です。 そのため、過激なアイコン $\sqrt(*)$ が導入されました。 同じ数 $b$ を表すには、指定された累乗で、以前に既知の値が得られます

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

多くの場合、これらのルーツは簡単に考慮されます-上記のような例をいくつか見ました。 それでも、ほとんどの場合、任意の数を考えて、そこから任意の次数のルートを抽出しようとすると、ひどい失敗に直面することになります。

そこにあるもの！ 最も単純で最もよく知られている $\sqrt(2)$ でさえ、通常の形式 (整数または分数) で表すことはできません。 この数値を電卓に入力すると、次のように表示されます。

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

ご覧のとおり、小数点の後には、論理に従わない無限の数列があります。 もちろん、この数値を四捨五入して、他の数値とすばやく比較できます。 例えば：

\[\sqrt(2)=1.4142...\約 1.4 \lt 1.5\]

または、別の例を次に示します。

\[\sqrt(3)=1.73205...\約 1.7 \gt 1.5\]

しかし、これらすべての丸めは、第一に、かなり粗いものです。 第二に、おおよその値を扱うことができる必要があります。そうしないと、明らかでないエラーの束を見つけることができます (ちなみに、比較と丸めのスキルは、プロファイル試験で必ずチェックされます)。

したがって、深刻な数学では、根なしではできません。根は、私たちが長い間知っている分数や整数のように、すべての実数 $\mathbb(R)$ の同じ等しい代表です。

根を $\frac(p)(q)$ の形式の分数として表現できないということは、この根が有理数ではないことを意味します。 このような数は無理数と呼ばれ、根号または無理数のために特別に設計された他の構造 (対数、度数、極限など) を使用しない限り、正確に表すことはできません。 しかし、それについてはまた別の機会に。

すべての計算の後、無理数がまだ答えに残っている例をいくつか考えてみましょう。

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

当然のことながら、根の出現により、小数点の後にどの数字が来るかを推測することはほとんど不可能です。 ただし、電卓で計算することは可能ですが、最新の日付計算機でさえ、無理数の最初の数桁しか得られません。 したがって、答えを $\sqrt(5)$ および $\sqrt(-2)$ と書く方がはるかに正確です。

それが彼らが発明されたものです。 答えを書きやすいように。

なぜ2つの定義が必要なのですか?

注意深い読者はおそらく、例で与えられたすべての平方根が正の数から取られていることにすでに気づいているでしょう。 まあ、せめてゼロから。 しかし、立方根は、絶対に任意の数から静かに抽出されます-正の数でも負の数でも。

なぜこうなった？ 関数 $y=((x)^(2))$ のグラフを見てください。

二次関数のグラフは、正と負の 2 つの根を与えます。

このグラフを使って $\sqrt(4)$ を計算してみましょう。 これを行うために、水平線 $y=4$ (赤でマーク) がグラフに描かれ、2 つの点で放物線と交差します: $((x)_(1))=2$ と $((x) _(2)) =-2$. これは非常に論理的です。

最初の数字ですべてが明確です-それは正であるため、ルートです。

しかし、それでは2番目の点をどうするか? 4 には同時に 2 つのルートがありますか? 結局のところ、数 −2 を 2 乗すると、4 も得られます。 そして、なぜ教師はあなたを食べたいかのようにそのような記録を見るのですか? :)

問題は、追加の条件が課されない場合、4 には正と負の 2 つの平方根があることです。 また、任意の正の数にもそれらが 2 つ含まれます。 しかし、負の数には根がまったくありません。放物線が軸を下回らないため、これは同じグラフからわかります。 y、つまり 負の値を取りません。

同様の問題が、指数が偶数のすべての根に対して発生します。

1. 厳密に言えば、各正の数には偶数の指数 $n$ を持つ 2 つの根があります。
2. 負の数から、$n$ が偶数のルートはまったく抽出されません。

そのため、偶数ルート $n$ の定義では、答えが負でない数でなければならないことが明確に規定されています。 これがあいまいさを取り除く方法です。

しかし、奇数 $n$ の場合、そのような問題はありません。 これを確認するために、関数 $y=((x)^(3))$ のグラフを見てみましょう。

3 次放物線は任意の値を取るため、3 乗根は任意の数値から取得できます。

このグラフから 2 つの結論を引き出すことができます。

1. 立方放物線の枝は、通常の放物線とは異なり、上下両方の方向に無限遠になります。 したがって、どのような高さで水平線を引いても、この線は必ずグラフと交差します。 したがって、立方根は常に、絶対に任意の数から取得できます。
2. さらに、このような交差は常に一意であるため、どの数値を「正しい」ルートと見なすか、どの数値をスコアリングするかを考える必要はありません。 そのため、奇数次数の根の定義は偶数次数の根よりも単純です (非負の要件はありません)。

これらの単純なことがほとんどの教科書で説明されていないのは残念です。 代わりに、私たちの脳は、あらゆる種類の算術根とその特性で急上昇し始めます。

はい、私は主張しません：算術根とは何ですか-あなたも知る必要があります。 これについては、別のレッスンで詳しく説明します。 今日はそれについても話します。なぜなら、それがなければ、$n$ 番目の多重度の根に関するすべての反映が不完全になるからです。

しかし、最初に、上で示した定義を明確に理解する必要があります。 そうしないと、用語が豊富にあるために、頭の中で混乱が始まり、最終的には何も理解できなくなります。

そして、理解する必要があるのは、偶数と奇数の違いだけです。 したがって、もう一度、ルーツについて本当に知っておく必要があるすべてを収集します。

1. 偶数根は非負数からのみ存在し、それ自体は常に非負数です。 負の数の場合、そのようなルートは未定義です。
2. しかし、奇数次数の根は任意の数から存在し、それ自体は任意の数になる可能性があります。正の数の場合は正であり、負の数の場合はキャップが示すように負です。

難しいですか？ いいえ、難しくありません。 それは明らかだ？ はい、明らかです！ したがって、ここで計算を少し練習します。

基本的なプロパティと制限

ルートには多くの奇妙な特性と制限があります - これは別のレッスンになります。 したがって、ここでは、指数が偶数の根にのみ適用される最も重要な「チップ」のみを検討します。 このプロパティを式の形で書きます。

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\左| x\右|\]

つまり、ある数値を偶数乗して、これから同じ次数の根を抽出すると、元の数値ではなく、そのモジュラスが得られます。 これは簡単に証明できる単純な定理です (非負の $x$ を別々に考えてから、負のものを別々に考えれば十分です)。 教師は常にそれについて話し、すべての学校の教科書に記載されています。 しかし、不合理な方程式 (根号の記号を含む方程式) を解くことになるとすぐに、学生はこの公式を一緒に忘れてしまいます。

問題を詳細に理解するために、すべての数式を 1 分間忘れて、2 つの数字を先に数えてみます。

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

これらは非常に単純な例です。 最初の例はほとんどの人が解決しますが、2 番目の例では解決できません。 そのようながらくたを問題なく解決するには、常に次の手順を検討してください。

1. まず、数を 4 乗します。 まあ、それはちょっと簡単です。 新しい数が取得されます。これは、掛け算の表でも見つけることができます。
2. そして今、この新しい数から 4 度のルートを抽出する必要があります。 それらの。 ルートと次数の「削減」はありません。これらは連続したアクションです。

最初の式を扱いましょう: $\sqrt(((3)^(4)))$。 明らかに、最初にルートの下の式を計算する必要があります。

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

次に、81 の 4 乗根を抽出します。

次に、2 番目の式で同じことを行いましょう。 まず、数値 −3 を 4 乗します。これには、それ自体を 4 回掛ける必要があります。

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \左(-3 \右)=81\]

製品のマイナスの合計数は 4 個であり、それらはすべて互いに相殺されるため、正の数が得られました (結局、マイナスごとのマイナスはプラスになります)。 次に、ルートを再度抽出します。

原則として、答えが同じになることは非常に簡単なので、この行は書くことができませんでした。 それらの。 同じ偶数乗の偶数根はマイナスを「燃やし」ます。この意味で、結果は通常のモジュールと見分けがつきません。

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\右|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \右|=3. \\ \end(整列)\]

これらの計算は、偶数次数の根の定義とよく一致します。結果は常に負ではなく、根号も常に負ではありません。 それ以外の場合、ルートは定義されません。

操作順序の注意

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ という表記は、最初に数値 $a$ を 2 乗してから、結果の値の平方根を取ることを意味します。 したがって、 $((a)^(2))\ge 0$ であるため、負でない数は常にルート記号の下にあると確信できます。
2. しかし、逆に、$((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ という表記は、最初に特定の数値 $a$ からルートを抽出し、その後で結果を 2 乗することを意味します。 したがって、数値 $a$ が負になることはありません。これは、定義に組み込まれている必須の要件です。

したがって、根と次数を軽率に減らして、元の表現を「単純化」してはいけません。 根の下に負の数があり、その指数が偶数である場合、多くの問題が発生するためです。

ただし、これらの問題はすべて偶数インジケーターにのみ関連します。

ルート記号の下からマイナス記号を削除する

当然のことながら、指数が奇数の根にも独自の機能があり、原則として偶数には存在しません。 すなわち：

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

つまり、奇数度の根の符号の下からマイナスを出すことができます。 これは、すべてのマイナスを「捨てる」ことができる非常に便利なプロパティです。

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(整列)\]

この単純なプロパティにより、多くの計算が大幅に簡素化されます。 もう心配する必要はありません。根の下に否定的な表現があり、根の次数が偶数であることが判明した場合はどうなるでしょうか。 根の外側のすべてのマイナスを「捨てる」だけで十分です。その後、それらを互いに乗算したり、分割したりして、一般的に多くの疑わしいことを行うことができます。これは、「古典的な」根の場合、エラーにつながることが保証されています。 .

そして、ここで別の定義がシーンに入ります - ほとんどの学校が不合理な表現の研究を始めるまさにその定義です。 そしてそれがなければ、私たちの推論は不完全になります。 会う！

算術根

ルート記号の下に正の数、または極端な場合にはゼロのみが存在すると仮定してみましょう。 偶数/奇数指標でスコアを付け、上記のすべての定義でスコアを付けましょう - 負でない数のみを扱います。 じゃあ何？

そして、算術根を取得します。これは、「標準」の定義と部分的に交差しますが、それでもそれらとは異なります。

意味。 非負数 $a$ の $n$ 次数の算術根は、$((b)^(n))=a$ となる非負数 $b$ です。

ご覧のとおり、パリティにはもはや関心がありません。 代わりに、新しい制限が現れました。部首式は常に非負になり、語根自体も非負になりました。

算術根が通常のものとどのように異なるかをよりよく理解するために、すでにおなじみの正方形と 3 次放物線のグラフを見てみましょう。

根探索領域 - 非負数

ご覧のとおり、これからは、座標 $x$ と $y$ が正の (または少なくともゼロである) 座標の最初の四半期にあるグラフの断片のみに関心があります。 負の数をルート化する権利があるかどうかを理解するためにインジケーターを見る必要はもうありません。 負の数は原則として考慮されなくなったためです。

「では、なぜそのような去勢された定義が必要なのですか?」と尋ねるかもしれません。 または: 「上記の標準的な定義でうまくいかないのはなぜですか?」

さて、新しい定義が適切になるため、プロパティを 1 つだけ指定します。 たとえば、累乗規則は次のとおりです。

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

注意: 基数式を任意のべき乗にすると同時に、ルート指数に同じべき乗を掛けることができます。結果は同じ数になります。 ここではいくつかの例を示します。

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

さて、それの何が問題なのですか？ なぜ以前はできなかったのですか？ 理由は次のとおりです。 簡単な式を考えてみましょう: $\sqrt(-2)$ は、古典的な意味ではごく普通の数値ですが、算術根の観点からは絶対に受け入れられません。 変換してみましょう:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0.\\ \end(align)$

ご覧のとおり、最初のケースでは、根号の下からマイナスを取り出し (インジケーターが奇数なので、すべての権利があります)、2 番目のケースでは、上記の式を使用しました。 それらの。 数学の観点からは、すべてが規則に従って行われます。

なんてこと？！ 同じ数が正と負の両方になるのはどうしてですか? とんでもない。 正の数とゼロに対してうまく機能する累乗の公式が、負の数の場合には完全な異端を示し始めているだけです。

ここで、そのような曖昧さを取り除くために、彼らは算術根を考え出しました。 別の大きなレッスンがそれらに捧げられ、そこですべてのプロパティを詳細に検討します。 だから今、私たちはそれらにこだわるつもりはありません - いずれにせよ、レッスンは長すぎることが判明しました。

代数根：もっと知りたい人向け

私は長い間考えていました：このトピックを別の段落にするかどうか。 結局、ここを離れることにしました。 この資料は、ルーツをさらによく理解したい人を対象としています。もはや平均的な「学校」レベルではなく、オリンピックに近いレベルです。

したがって、数値からの $n$ 次数の根の「古典的な」定義と、関連する偶数と奇数の指標への分割に加えて、パリティに依存せず、より「大人向け」の定義があります。他の微妙な点はまったくありません。 これを代数根と呼びます。

意味。 任意の $a$ の $n$ 番目の代数根は、$((b)^(n))=a$ となるすべての数値 $b$ の集合です。 このような語根には確立された指定がないため、先頭にダッシュを付けてください。

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

レッスンの最初に示した標準的な定義との根本的な違いは、代数根が特定の数ではなく集合であるということです。 また、実数を扱っているため、このセットには次の 3 つのタイプしかありません。

1. 空集合。 負の数から偶数次数の代数根を見つける必要がある場合に発生します。
2. 1 つの要素で構成されるセット。 ゼロからの偶数ベキの根だけでなく、奇数ベキのすべての根もこのカテゴリに分類されます。
3. 最後に、セットには 2 つの数値を含めることができます。チャート二次関数。 したがって、このような整列は、正数から偶数次数の根を抽出する場合にのみ可能です。

最後のケースは、より詳細に検討する価値があります。 違いを理解するために、いくつかの例を数えてみましょう。

例。 計算式:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

解決。 最初の式は単純です。

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

セットの一部である 2 つの数字です。 それぞれの 2 乗は 4 になるからです。

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

ここでは、1 つの数字のみからなる集合が表示されます。 根の指数は奇数なので、これは非常に論理的です。

最後に、最後の式:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

空のセットを取得しました。 4 乗 (つまり、偶数!) に累乗すると、負の数 -16 になる実数は 1 つもないためです。

最後のメモ。 注意: 実数を扱っていることをどこでも指摘したのは偶然ではありません。 複素数も存在するため、$\sqrt(-16)$ や他の多くの奇妙な計算を行うことは十分に可能です。

しかし、現代の数学の学校のカリキュラムでは、複素数はほとんど見られません。 私たちの役人はこのトピックを「理解するのが難しすぎる」と考えているため、ほとんどの教科書から省略されています。

それで全部です。 次のレッスンでは、ルートのすべての主要なプロパティを見て、最後に無理式を単純化する方法を学びます:)