آزمون درجه ریشه و منطقی 10. ریشه درجه n: تعاریف اساسی. درس و ارائه با موضوع: "ویژگی های ریشه درجه n. قضایا"

درس و ارائه با موضوع: "ویژگی های ریشه درجه n. قضایا"

مواد اضافی
کاربران گرامی، نظرات، انتقادات، پیشنهادات خود را فراموش نکنید! تمام مواد توسط یک برنامه آنتی ویروس بررسی می شود.

وسایل کمک آموزشی و شبیه ساز در فروشگاه اینترنتی انتگرال پایه یازدهم
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 9-11 "مثلثات"
کتابچه راهنمای تعاملی برای کلاس های 10-11 "لگاریتم"

خواص ریشه درجه n. قضایا

بچه ها ما به بررسی ریشه های درجه n یک عدد واقعی ادامه می دهیم. تقریباً مانند تمام اشیاء ریاضی، ریشه های درجه n ام دارای ویژگی هایی هستند که امروز به بررسی آنها می پردازیم.
تمام خصوصیاتی که در نظر می گیریم فقط برای مقادیر غیر منفی متغیرهای موجود در زیر علامت ریشه فرمول بندی و اثبات می شوند.
در مورد توان ریشه فرد، برای متغیرهای منفی نیز وجود دارد.

قضیه 1. ریشه n ام حاصل ضرب دو عدد غیر منفی برابر است با حاصلضرب ریشه nام این اعداد: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\ sqrt[n](b) $.

بیایید قضیه را ثابت کنیم.
اثبات بچه ها، برای اثبات قضیه، بیایید متغیرهای جدیدی را معرفی کنیم، نشان می دهد:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
باید ثابت کنیم که $x=y*z$.
توجه داشته باشید که هویت های زیر نیز وجود دارد:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
سپس هویت زیر نیز برقرار است: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
درجات دو عدد غیر منفی و توان آنها برابر است، سپس پایه های خود درجات برابر هستند. از این رو $x=y*z$، که باید ثابت شود.

قضیه 2. اگر $a≥0$، $b>0$ و n عدد طبیعی بزرگتر از 1 باشد، تساوی زیر برقرار است: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt [n](a))(\sqrt[n](b))$.

یعنی ریشه n ضریب برابر با نصف ریشه n ام است.

اثبات
برای اثبات این موضوع از یک طرح ساده به شکل جدول استفاده می کنیم:

نمونه هایی از محاسبه ریشه n

مثال.
محاسبه: $\sqrt(16*81*256)$.
راه حل. بیایید از قضیه 1 استفاده کنیم: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

مثال.
محاسبه: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
راه حل. بیایید عبارت رادیکال را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهیم: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
بیایید از قضیه 2 استفاده کنیم: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2) دلار.

مثال.
محاسبه:
الف) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
ب) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
راه حل:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ sqrt(81)=2*3=6$.
ب) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

قضیه 3. اگر $a≥0$، k و n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 باشند، برابری درست است: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

برای بالا بردن ریشه به یک قدرت طبیعی کافی است که بیان رادیکال را به این قدرت برسانیم.

اثبات
بیایید یک مورد خاص برای $k=3$ در نظر بگیریم. بیایید از قضیه 1 استفاده کنیم.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
برای هر مورد دیگری هم می توان همین را ثابت کرد. بچه ها، خودتون برای موردی که $k=4$ و $k=6$ هست ثابت کنید.

قضیه 4. اگر $a≥0$ b n,k اعداد طبیعی بزرگتر از 1 باشند، برابری درست است: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

برای استخراج ریشه از یک ریشه کافی است که نماهای ریشه ها را ضرب کنیم.

اثبات
اجازه دهید دوباره به طور خلاصه با استفاده از جدول ثابت کنیم. برای اثبات این موضوع از یک طرح ساده به شکل جدول استفاده می کنیم:

مثال.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

قضیه 5. اگر شاخص های ریشه و عبارت ریشه در یک عدد طبیعی یکسان ضرب شوند، مقدار ریشه تغییر نمی کند: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a) $.

اثبات
اصل اثبات قضیه ما مانند نمونه های دیگر است. بیایید متغیرهای جدید را معرفی کنیم:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (طبق تعریف).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (طبق تعریف).
آخرین برابری را به توان p می آوریم
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
بدست آورد:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
یعنی $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$ که قرار بود ثابت شود.

مثال ها:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (تقسیم بر 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (تقسیم بر 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (ضرب در 3).

مثال.
اکشن‌ها را اجرا کنید: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
راه حل.
نماهای ریشه ها اعداد متفاوتی هستند، بنابراین نمی توانیم از قضیه 1 استفاده کنیم، اما با اعمال قضیه 5 می توانیم توان های مساوی بدست آوریم.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (ضرب در 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (ضرب در 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

وظایف برای راه حل مستقل

1. محاسبه کنید: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. محاسبه کنید: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. محاسبه کنید:
الف) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
ب) $\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. ساده کردن:
الف) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ب) $\sqrt(\sqrt(a))$.
ج) $\sqrt(\sqrt(a))$.
5. اقدامات را انجام دهید: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

برای استفاده موفقیت آمیز از عملیات استخراج ریشه در عمل، باید با خواص این عملیات آشنا شوید.
تمام خصوصیات فقط برای مقادیر غیر منفی متغیرهای موجود در علائم ریشه فرموله و اثبات می شوند.

قضیه 1. ریشه n (n=2, 3, 4,...) حاصلضرب دو چیپست غیر منفی برابر است با حاصلضرب ریشه nام این اعداد:

اظهار نظر:

1. قضیه 1 برای حالتی معتبر باقی می ماند که عبارت رادیکال حاصل ضرب بیش از دو عدد غیر منفی باشد.

قضیه 2.اگر, و n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 است، سپس تساوی است

مختصرفرمولاسیون (هر چند نادرست) که در عمل راحت تر است: ریشه کسر برابر با کسر ریشه است.

قضیه 1 به ما اجازه می دهد m را ضرب کنیم فقط ریشه های هم درجه ، یعنی فقط ریشه هایی با توان یکسان.

قضیه 3. اگر ,k یک عدد طبیعی و n یک عدد طبیعی بزرگتر از 1 و سپس تساوی است

به عبارت دیگر برای بالا بردن ریشه به یک قوه طبیعی کافی است که بیان ریشه را به این قوه برسانیم.
این نتیجه قضیه 1 است. در واقع، برای مثال، برای k = 3 ما دریافت می کنیم

قضیه 4. اگر ,k، n اعداد طبیعی بزرگتر از 1 و سپس تساوی هستند

به عبارت دیگر، برای استخراج ریشه از یک ریشه کافی است که نماهای ریشه ها را ضرب کنیم.
مثلا،

مراقب باش!ما آموختیم که چهار عمل را می توان روی ریشه ها انجام داد: ضرب، تقسیم، توان و استخراج ریشه (از ریشه). اما در مورد جمع و تفریق ریشه ها چطور؟ به هیچ وجه.
به عنوان مثال، شما نمی توانید به جای Indeed بنویسید، اما واضح است که

قضیه 5. اگر شاخص های ریشه و عبارت ریشه در یک عدد طبیعی ضرب یا تقسیم می شوند، سپس مقدار ریشه تغییر نمی کند، یعنی.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1محاسبه

راه حل.با استفاده از اولین ویژگی ریشه ها (قضیه 1)، به دست می آوریم:

مثال 2محاسبه
راه حل.عدد مختلط را به کسر نامناسب تبدیل کنید.
استفاده از خاصیت دوم ریشه ها را داریم ( قضیه 2 )، ما گرفتیم:

مثال 3محاسبه:

راه حل.همانطور که می دانید هر فرمول در جبر نه تنها از "از چپ به راست" بلکه از "از راست به چپ" نیز استفاده می شود. بنابراین، اولین خاصیت ریشه ها به این معنی است که می توان آن را به صورت نمایش داد و برعکس، می تواند با عبارت جایگزین شود. همین امر در مورد خاصیت دوم ریشه ها نیز صدق می کند. با در نظر گرفتن این موضوع، بیایید محاسبات را انجام دهیم.

تبریک می گویم: امروز ریشه ها را تجزیه و تحلیل می کنیم - یکی از جالب ترین موضوعات کلاس هشتم. :)

بسیاری از مردم در مورد ریشه ها گیج می شوند نه به این دلیل که آنها پیچیده هستند (که پیچیده است - چند تعریف و چند ویژگی دیگر)، بلکه به این دلیل که در بیشتر کتاب های درسی مدرسه، ریشه ها از طریق آنچنان وحشی تعریف می شوند که فقط خود نویسندگان کتاب های درسی می توانند آن را انجام دهند. این خط خطی را درک کنید و حتی پس از آن فقط با یک بطری ویسکی خوب. :)

بنابراین ، اکنون صحیح ترین و شایسته ترین تعریف ریشه را ارائه می دهم - تنها چیزی که واقعاً باید به خاطر بسپارید. و تنها پس از آن توضیح خواهم داد: چرا همه اینها ضروری است و چگونه آن را در عمل اعمال کنیم.

اما ابتدا یک نکته مهم را به خاطر بسپارید که به دلایلی بسیاری از گردآورندگان کتاب های درسی آن را فراموش می کنند:

ریشه ها می توانند درجه زوج باشند ($\sqrt(a)$ مورد علاقه ما، و همچنین هر $\sqrt(a)$ و زوج $\sqrt(a)$) و درجه فرد (هر $\sqrt(a)$ ، $\ sqrt(a)$ و غیره). و تعریف ریشه درجه فرد با عدد زوج تا حدودی متفاوت است.

در این لعنتی "تا حدودی متفاوت" احتمالاً 95٪ از همه خطاها و سوء تفاهم های مرتبط با ریشه ها پنهان است. بنابراین بیایید یک بار برای همیشه اصطلاحات را روشن کنیم:

تعریف. حتی ریشه nاز عدد $a$ هر است غیر منفییک عدد $b$ طوری که $((b)^(n))=a$. و ریشه یک درجه فرد از همان عدد $a$ به طور کلی هر عدد $b$ است که برای آن برابری یکسان برقرار است: $((b)^(n))=a$.

در هر صورت، ریشه به این صورت مشخص می شود:

\(آ)\]

عدد $n$ در چنین نمادی را توان ریشه و عدد $a$ را عبارت رادیکال می نامند. به طور خاص، برای $n=2$، ما جذر "مورد علاقه" خود را می گیریم (به هر حال، این ریشه یک درجه زوج است)، و برای $n=3$، یک ریشه مکعب (یک درجه فرد) دریافت می کنیم. که اغلب در مسائل و معادلات نیز یافت می شود.

مثال ها. نمونه های کلاسیک ریشه های مربع:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \پایان (تراز کردن)\]

به هر حال، $\sqrt(0)=0$ و $\sqrt(1)=1$. این کاملاً منطقی است زیرا $((0)^(2))=0$ و $((1)^(2))=1$.

ریشه های مکعبی نیز رایج هستند - از آنها نترسید:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \پایان (تراز کردن)\]

خوب، چند "نمونه عجیب و غریب":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر متوجه نشدید که تفاوت بین درجه زوج و فرد چیست، تعریف را دوباره بخوانید. این خیلی مهمه!

در این میان، یک ویژگی ناخوشایند ریشه ها را در نظر می گیریم که به دلیل آن نیاز به ارائه تعریف جداگانه ای برای توان زوج و فرد داشتیم.

اصلاً چرا به ریشه نیاز داریم؟

پس از خواندن این تعریف، بسیاری از دانش‌آموزان می‌پرسند: "ریاضی‌دانان وقتی به این موضوع رسیدند چه سیگاری کشیدند؟" و واقعاً: چرا به این همه ریشه نیاز داریم؟

برای پاسخ به این سوال، لحظه ای به دوران ابتدایی برگردیم. به یاد داشته باشید: در آن زمان های دور که درختان سبزتر و کوفته ها خوشمزه تر بودند، دغدغه اصلی ما این بود که اعداد را به درستی ضرب کنیم. خوب، چیزی به روح "پنج در پنج - بیست و پنج"، همین. اما به هر حال، شما می توانید اعداد را نه به صورت جفت، بلکه به صورت سه تایی، چهارگانه و به طور کلی مجموعه های کامل ضرب کنید:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \پایان (تراز کردن)\]

با این حال، این نکته نیست. ترفند متفاوت است: ریاضیدانان افراد تنبلی هستند، بنابراین آنها باید ضرب ده پنج را به این صورت یادداشت کنند:

بنابراین آنها به مدارج رسیدند. چرا تعداد فاکتورها را به‌جای رشته‌ای بلند به‌عنوان بالانوشت نمی‌نویسیم؟ شبیه این یکی:

خیلی راحته! همه محاسبات چندین برابر کاهش می یابد، و شما نمی توانید یک دسته کاغذ پوستی دفترچه یادداشت را برای نوشتن 5 183 صرف کنید. چنین مدخلی درجه یک عدد نامیده می شد ، دسته ای از خواص در آن یافت شد ، اما خوشبختی کوتاه مدت بود.

پس از یک مشروب بزرگ، که دقیقاً در مورد "کشف" درجه ها سازماندهی شده بود، یک ریاضیدان مخصوصاً سنگسار ناگهان پرسید: "اگر درجه یک عدد را بدانیم، اما خود عدد را ندانیم، چه؟" در واقع، اگر بدانیم که مثلاً یک عدد b$ معین به توان پنجم 243 می دهد، پس چگونه می توانیم حدس بزنیم که خود عدد b$ با چه چیزی برابر است؟

این مشکل بسیار جهانی تر از آن چیزی است که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد. زیرا معلوم شد که برای اکثر درجه های "آماده" چنین اعداد "اولیه" وجود ندارد. خودتان قضاوت کنید:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \پایان (تراز کردن)\]

اگر $((b)^(3))=50$ باشد چه؟ معلوم می شود که شما باید عدد خاصی را پیدا کنید، که اگر در سه برابر آن ضرب شود، 50 به ما می رسد. اما این عدد چیست؟ به وضوح بزرگتر از 3 است زیرا 3 3 = 27 است< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. یعنی. این عدد بین سه تا چهار قرار دارد، اما با چه چیزی برابر است - شما متوجه خواهید شد.

دقیقاً به همین دلیل است که ریاضیدانان ریشه‌های $n$-th را پیدا کردند. به همین دلیل نماد رادیکال $\sqrt(*)$ معرفی شد. برای نشان دادن همان عدد $b$، که به توان مشخص شده، مقداری از قبل شناخته شده به ما می دهد.

\[\sqrt[n](a)=b\پیکان راست ((b)^(n))=a\]

من بحث نمی کنم: اغلب این ریشه ها به راحتی در نظر گرفته می شوند - چندین نمونه از این قبیل را در بالا دیدیم. اما با این حال، در بیشتر موارد، اگر به یک عدد دلخواه فکر می کنید، و سپس سعی می کنید ریشه یک درجه دلخواه را از آن استخراج کنید، در معرض خطر بی رحمی قرار خواهید گرفت.

چه چیزی آنجاست! حتی ساده ترین و آشناترین $\sqrt(2)$ را نمی توان به شکل معمول ما - به عنوان یک عدد صحیح یا یک کسری - نشان داد. و اگر این عدد را وارد ماشین حساب کنید، این را خواهید دید:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

همانطور که می بینید، بعد از نقطه اعشار یک دنباله بی پایان از اعداد وجود دارد که از هیچ منطقی تبعیت نمی کنند. البته می توانید این عدد را گرد کنید تا به سرعت با اعداد دیگر مقایسه کنید. مثلا:

\[\sqrt(2)=1.4142...\تقریباً 1.4 \lt 1.5\]

یا این هم یک مثال دیگر:

\[\sqrt(3)=1.73205...\تقریباً 1.7 \gt 1.5\]

اما همه این گرد کردن، اولا، نسبتاً خشن هستند. و ثانیاً ، شما همچنین باید بتوانید با مقادیر تقریبی کار کنید ، در غیر این صورت می توانید تعداد زیادی خطای غیر آشکار را بگیرید (به هر حال ، مهارت مقایسه و گرد کردن لزوماً در امتحان نمایه بررسی می شود).

بنابراین، در ریاضیات جدی، نمی توان بدون ریشه کار کرد - آنها همان نمایندگان مساوی مجموعه همه اعداد واقعی $\mathbb(R)$ هستند، مانند کسرها و اعداد صحیح که ما مدت هاست آنها را می شناسیم.

عدم امکان نمایش ریشه به عنوان کسری از شکل $\frac(p)(q)$ به این معنی است که این ریشه یک عدد گویا نیست. چنین اعدادی نامعقول نامیده می شوند و نمی توان آنها را به طور دقیق نشان داد مگر با کمک یک رادیکال یا ساختارهای دیگر که مخصوص این کار طراحی شده است (لگاریتم، درجه، حد و غیره). اما بیشتر در مورد آن زمان دیگر.

چند مثال را در نظر بگیرید که پس از تمام محاسبات، اعداد غیر منطقی همچنان در پاسخ باقی خواهند ماند.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\ approx 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\تقریباً 12599-... \\ \پایان (تراز کردن)\]

طبیعتاً با ظاهر ریشه تقریباً غیرممکن است حدس بزنید که کدام اعداد بعد از نقطه اعشار می آیند. با این حال، محاسبه بر روی یک ماشین حساب امکان پذیر است، اما حتی پیشرفته ترین ماشین حساب تاریخ فقط چند رقم اول یک عدد غیر منطقی را به ما می دهد. بنابراین، نوشتن پاسخ ها به صورت $\sqrt(5)$ و $\sqrt(-2)$ بسیار صحیح تر است.

برای همین اختراع شدند. برای سهولت در نوشتن پاسخ ها.

چرا دو تعریف لازم است؟

خواننده با دقت احتمالا قبلاً متوجه شده است که تمام جذرهای داده شده در مثال ها از اعداد مثبت گرفته شده است. خوب، حداقل از صفر. اما ریشه های مکعب کاملاً از هر عددی با آرامش استخراج می شوند - حتی مثبت و حتی منفی.

چرا این اتفاق می افتد؟ به نمودار تابع $y=((x)^(2))$ نگاهی بیندازید:

نمودار یک تابع درجه دوم دو ریشه می دهد: مثبت و منفی

بیایید سعی کنیم $\sqrt(4)$ را با استفاده از این نمودار محاسبه کنیم. برای انجام این کار، یک خط افقی $y=4$ (با رنگ قرمز مشخص شده) روی نمودار رسم می شود که سهمی را در دو نقطه قطع می کند: $((x)_(1))=2$ و $((x) _(2)) =-2$. این کاملاً منطقی است، زیرا

همه چیز با عدد اول مشخص است - مثبت است، بنابراین ریشه است:

اما با نکته دوم چه باید کرد؟ آیا 4 به طور همزمان دو ریشه دارد؟ به هر حال، اگر عدد −2 را مربع کنیم، 4 نیز به دست می‌آید. چرا $\sqrt(4)=-2$ را نمی‌نویسیم؟ و چرا معلمان به چنین سوابقی طوری نگاه می کنند که انگار می خواهند شما را بخورند؟ :)

مشکل این است که اگر شرایط اضافی اعمال نشود، آن چهار ریشه دو خواهند داشت - مثبت و منفی. و هر عدد مثبتی دو عدد از آنها را نیز خواهد داشت. اما اعداد منفی اصلاً ریشه نخواهند داشت - این را می توان از همان نمودار مشاهده کرد، زیرا سهمی هرگز زیر محور نمی افتد. y، یعنی مقادیر منفی نمی گیرد.

یک مشکل مشابه برای همه ریشه های دارای توان زوج رخ می دهد:

1. به بیان دقیق، هر عدد مثبت دارای دو ریشه با توان زوج $n$ خواهد بود.
2. از اعداد منفی، ریشه حتی $n$ به هیچ وجه استخراج نمی شود.

به همین دلیل است که تعریف یک ریشه زوج $n$ به طور خاص تصریح می کند که پاسخ باید یک عدد غیر منفی باشد. اینگونه از ابهام خلاص می شویم.

اما برای $n$ فرد چنین مشکلی وجود ندارد. برای مشاهده این، اجازه دهید نگاهی به نمودار تابع $y=((x)^(3))$ بیاندازیم:

سهمی مکعبی هر مقداری را می گیرد، بنابراین ریشه مکعب را می توان از هر عددی گرفت

از این نمودار می توان دو نتیجه گرفت:

1. شاخه های یک سهمی مکعبی، برخلاف معمول، در هر دو جهت - هم بالا و هم پایین - به بی نهایت می روند. بنابراین در هر ارتفاعی که یک خط افقی رسم کنیم، این خط قطعا با نمودار ما قطع خواهد شد. بنابراین، ریشه مکعب را می توان همیشه، مطلقاً از هر عددی گرفت.
2. علاوه بر این، چنین تقاطع همیشه منحصر به فرد خواهد بود، بنابراین لازم نیست به این فکر کنید که کدام عدد را ریشه "صحیح" در نظر بگیرید و کدام یک را امتیاز دهید. به همین دلیل است که تعریف ریشه برای یک درجه فرد ساده تر از یک زوج است (نیازی برای غیر منفی بودن وجود ندارد).

حیف که این موارد ساده در اکثر کتاب های درسی توضیح داده نشده است. در عوض، مغز ما با انواع ریشه های حسابی و خواص آنها شروع به اوج گرفتن می کند.

بله، من بحث نمی کنم: ریشه حسابی چیست - شما همچنین باید بدانید. و من در یک درس جداگانه در مورد این موضوع صحبت خواهم کرد. امروز نیز در مورد آن صحبت خواهیم کرد، زیرا بدون آن، همه بازتاب ها در مورد ریشه های تعدد $n$-th ناقص خواهند بود.

اما ابتدا باید تعریفی را که در بالا ارائه دادم به وضوح درک کنید. در غیر این صورت به دلیل فراوانی اصطلاحات، چنان آشفتگی در سر شما شروع می شود که در نهایت هیچ چیز را متوجه نمی شوید.

و تنها چیزی که باید بدانید تفاوت بین اعداد زوج و فرد است. بنابراین، یک بار دیگر همه چیزهایی را که واقعاً باید در مورد ریشه ها بدانید را جمع آوری می کنیم:

1. یک ریشه زوج فقط از یک عدد غیر منفی وجود دارد و خود همیشه یک عدد غیر منفی است. برای اعداد منفی، چنین ریشه ای تعریف نشده است.
2. اما ریشه یک درجه فرد از هر عددی وجود دارد و خود می تواند هر عددی باشد: برای اعداد مثبت مثبت است و برای اعداد منفی، همانطور که از کلاه نشان می دهد، منفی است.

آیا سخت است؟ نه، سخت نیست. واضح است؟ بله، واضح است! بنابراین، اکنون کمی با محاسبات تمرین می کنیم.

ویژگی ها و محدودیت های اساسی

ریشه ها خواص و محدودیت های عجیب و غریب زیادی دارند - این یک درس جداگانه خواهد بود. بنابراین، اکنون ما تنها مهمترین "تراشه" را در نظر خواهیم گرفت، که فقط برای ریشه هایی با توان یکسان اعمال می شود. این ویژگی را به صورت فرمول می نویسیم:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\ چپ| x\راست|\]

به عبارت دیگر، اگر عددی را به توان زوج برسانیم و سپس ریشه همان درجه را از آن استخراج کنیم، نه عدد اصلی، بلکه مدول آن را به دست خواهیم آورد. این یک قضیه ساده است که اثبات آن آسان است (کافی است که $x$ غیر منفی را جداگانه در نظر بگیرید و سپس به طور جداگانه موارد منفی را در نظر بگیرید). معلمان دائماً در مورد آن صحبت می کنند، در هر کتاب درسی مدرسه آورده شده است. اما به محض حل معادلات غیرمنطقی (یعنی معادلات حاوی علامت رادیکال) دانش آموزان این فرمول را با هم فراموش می کنند.

برای درک دقیق موضوع، بیایید تمام فرمول ها را برای یک دقیقه فراموش کنیم و سعی کنیم دو عدد جلوتر را بشماریم:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

اینها نمونه های بسیار ساده ای هستند. مثال اول توسط اکثر مردم حل می شود، اما در مورد دوم، بسیاری از مردم می چسبند. برای حل چنین مزخرفی بدون مشکل، همیشه این روش را در نظر بگیرید:

1. ابتدا عدد به توان چهارم افزایش می یابد. خب یه جورایی راحته یک عدد جدید به دست می آید که حتی در جدول ضرب نیز یافت می شود.
2. و اکنون از این عدد جدید باید ریشه درجه چهارم را استخراج کرد. آن ها هیچ "کاهش" ریشه ها و درجات وجود ندارد - اینها اقدامات متوالی هستند.

بیایید به عبارت اول بپردازیم: $\sqrt(((3)^(4)))$. بدیهی است که ابتدا باید عبارت زیر ریشه را محاسبه کنید:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

سپس ریشه چهارم عدد 81 را استخراج می کنیم:

حالا بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. ابتدا عدد -3 را به توان چهارم می‌رسانیم که برای آن باید آن را در خودش 4 برابر کنیم:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ چپ(-3 \راست)=81\]

ما یک عدد مثبت دریافت کردیم، زیرا تعداد کل منفی ها در محصول 4 قطعه است و همه آنها یکدیگر را خنثی می کنند (در نهایت، منهای منهای یک مثبت می دهد). سپس دوباره ریشه را استخراج کنید:

در اصل، این خط را نمی‌توان نوشت، زیرا بی‌معنی است که پاسخ یکسان باشد. آن ها یک ریشه زوج از همان قدرت زوج، موارد منفی را می سوزاند، و از این نظر، نتیجه از ماژول معمولی قابل تشخیص نیست:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))=\left| -3 \right|=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]

این محاسبات با تعریف ریشه یک درجه زوج مطابقت خوبی دارد: نتیجه همیشه غیر منفی است و علامت رادیکال نیز همیشه یک عدد غیر منفی است. در غیر این صورت، ریشه تعریف نشده است.

توجه به ترتیب عملیات

1. علامت $\sqrt(((a)^(2)))$ به این معنی است که ابتدا عدد $a$ را مربع می کنیم و سپس ریشه دوم مقدار حاصل را می گیریم. بنابراین، می‌توان مطمئن بود که یک عدد غیر منفی همیشه زیر علامت ریشه قرار می‌گیرد، زیرا به هر حال $((a)^(2))\ge 0$ است.
2. اما برعکس، علامت $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ به این معنی است که ابتدا ریشه را از یک عدد مشخص $a$ استخراج می کنیم و تنها سپس نتیجه را مربع می کنیم. بنابراین، عدد $a$ در هیچ موردی نمی تواند منفی باشد - این یک الزام اجباری است که در تعریف تعبیه شده است.

بنابراین، به هیچ وجه نباید ریشه ها و درجات را بدون فکر کاهش داد و در نتیجه ظاهراً عبارت اصلی را "ساده" کرد. زیرا اگر زیر ریشه یک عدد منفی باشد و نمایش زوج باشد، مشکلات زیادی خواهیم داشت.

با این حال، همه این مشکلات فقط برای حتی شاخص ها مرتبط هستند.

حذف علامت منفی از زیر علامت ریشه

طبیعتاً ریشه هایی با توان های فرد نیز ویژگی خاص خود را دارند که اصولاً برای زوج ها وجود ندارد. برای مثال:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

به طور خلاصه، می توانید یک منهای را از زیر علامت ریشه های یک درجه فرد خارج کنید. این یک ویژگی بسیار مفید است که به شما امکان می دهد تمام موارد منفی را "پرتاب" کنید:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \پایان (تراز کردن)\]

این ویژگی ساده بسیاری از محاسبات را بسیار ساده می کند. اکنون نیازی به نگرانی نیست: اگر یک عبارت منفی در زیر ریشه قرار گیرد و درجه در ریشه یکنواخت باشد چه؟ کافی است تمام منفی ها را خارج از ریشه "بیرون بیندازیم"، پس از آن می توان آنها را در یکدیگر ضرب کرد، تقسیم کرد و به طور کلی کارهای مشکوک زیادی را انجام داد، که در مورد ریشه های "کلاسیک" تضمین می شود که ما را به اشتباه سوق دهد. .

و در اینجا تعریف دیگری وارد صحنه می شود - همان تعریفی که اکثر مکاتب مطالعه عبارات غیرمنطقی را با آن آغاز می کنند. و بدون آن استدلال ما ناقص خواهد بود. ملاقات!

ریشه حسابی

بیایید برای لحظه ای فرض کنیم که فقط اعداد مثبت یا در موارد شدید صفر می توانند زیر علامت ریشه باشند. بیایید به شاخص های زوج / فرد امتیاز دهیم، به تمام تعاریف ارائه شده در بالا امتیاز دهیم - ما فقط با اعداد غیر منفی کار خواهیم کرد. بعدش چی شد؟

و سپس ریشه حسابی را دریافت می کنیم - تا حدی با تعاریف "استاندارد" ما تلاقی می کند، اما همچنان با آنها متفاوت است.

تعریف. ریشه حسابی درجه $n$th یک عدد غیر منفی $a$ یک عدد غیر منفی $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$.

همانطور که می بینید، ما دیگر علاقه ای به برابری نداریم. در عوض، محدودیت جدیدی ظاهر شد: عبارت رادیکال اکنون همیشه غیر منفی است، و خود ریشه نیز غیرمنفی است.

برای درک بهتر تفاوت ریشه حسابی با ریشه معمولی، به نمودارهای سهمی مربع و مکعب که قبلاً برای ما آشنا هستند نگاهی بیندازید:

منطقه جستجوی ریشه - اعداد غیر منفی

همانطور که می بینید، از این به بعد، ما فقط به آن دسته از نمودارهایی علاقه مندیم که در سه ماهه مختصات اول قرار دارند - جایی که مختصات $x$ و $y$ مثبت (یا حداقل صفر) هستند. دیگر لازم نیست به اندیکاتور نگاه کنید تا بفهمید که آیا ما حق ریشه کردن یک عدد منفی را داریم یا خیر. زیرا دیگر اصولاً اعداد منفی در نظر گرفته نمی شوند.

ممکن است بپرسید: "خب، چرا ما به چنین تعریف اخته ای نیاز داریم؟" یا: "چرا نمی توانیم با تعریف استانداردی که در بالا ارائه شده است کنار بیاییم؟"

خوب، من فقط یک ویژگی می دهم که به دلیل آن تعریف جدید مناسب می شود. به عنوان مثال، قانون قدرت:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

لطفاً توجه داشته باشید: ما می توانیم عبارت رادیکال را به هر توانی افزایش دهیم و در همان زمان توان ریشه را در همان توان ضرب کنیم - و نتیجه همان عدد خواهد بود! در اینجا چند نمونه آورده شده است:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \پایان (تراز کردن)\]

خوب، چه اشکالی دارد؟ چرا قبلا نمی توانستیم این کار را انجام دهیم؟ در اینجا دلیل آن است. یک عبارت ساده را در نظر بگیرید: $\sqrt(-2)$ عددی است که به معنای کلاسیک ما کاملاً عادی است، اما از نقطه نظر ریشه حسابی کاملاً غیرقابل قبول است. بیایید سعی کنیم آن را تبدیل کنیم:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \راست))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end (تراز کردن)$

همانطور که می بینید، در حالت اول، منهای را از زیر رادیکال خارج کردیم (حق داریم، زیرا شاخص فرد است) و در مورد دوم، از فرمول بالا استفاده کردیم. آن ها از نظر ریاضی همه چیز طبق قوانین انجام می شود.

WTF؟! چگونه یک عدد می تواند مثبت و منفی باشد؟ به هیچ وجه. فقط فرمول توانی که برای اعداد مثبت و صفر عالی عمل می کند، در مورد اعداد منفی شروع به بدعت کامل می کند.

در اینجا برای رهایی از چنین ابهامی به ریشه های حسابی رسیدند. یک درس بزرگ جداگانه به آنها اختصاص داده شده است که در آن همه ویژگی های آنها را با جزئیات در نظر می گیریم. بنابراین اکنون ما روی آنها تمرکز نمی کنیم - به هر حال درس بسیار طولانی بود.

ریشه جبری: برای کسانی که می خواهند بیشتر بدانند

من مدت زیادی فکر کردم: این موضوع را در یک پاراگراف جداگانه بسازیم یا نه. در نهایت تصمیم گرفتم اینجا را ترک کنم. این مطالب برای کسانی در نظر گرفته شده است که می خواهند ریشه ها را حتی بهتر درک کنند - دیگر نه در سطح متوسط ​​"مدرسه"، بلکه در سطح نزدیک به المپیاد.

بنابراین: علاوه بر تعریف "کلاسیک" ریشه درجه $n$-ام از یک عدد و تقسیم مربوط به آن به شاخص های زوج و فرد، یک تعریف "بزرگسال" تر وجود دارد که به برابری و هم بستگی ندارد. ظرافت های دیگر اصلا به این ریشه جبری می گویند.

تعریف. ریشه جبری $n$-th هر $a$ مجموعه ای از همه اعداد $b$ است به طوری که $((b)^(n))=a$. هیچ علامت مشخصی برای چنین ریشه هایی وجود ندارد، بنابراین فقط یک خط تیره در بالا قرار دهید:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \راست. \راست\) \]

تفاوت اساسی با تعریف استاندارد ارائه شده در ابتدای درس این است که ریشه جبری یک عدد خاص نیست، بلکه یک مجموعه است. و از آنجایی که ما با اعداد واقعی کار می کنیم، این مجموعه فقط سه نوع است:

1. مجموعه تهی. زمانی اتفاق می‌افتد که از یک عدد منفی باید یک ریشه جبری با درجه زوج پیدا کرد.
2. مجموعه ای متشکل از یک عنصر واحد. تمام ریشه های توان های فرد و همچنین ریشه های توان های زوج از صفر در این دسته قرار می گیرند.
3. در نهایت، مجموعه می تواند شامل دو عدد باشد - همان $((x)_(1))$ و $((x)_(2))=-((x)_(1))$ که در نمودار تابع درجه دوم بر این اساس، چنین هم‌ترازی فقط هنگام استخراج ریشه یک درجه زوج از یک عدد مثبت امکان‌پذیر است.

مورد آخر سزاوار بررسی دقیق تر است. بیایید چند مثال را بشماریم تا تفاوت را بفهمیم.

مثال. محاسبه عبارات:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

راه حل. اولین عبارت ساده است:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \راست\)\]

این دو عدد هستند که بخشی از مجموعه هستند. زیرا مجذور هر کدام یک چهار می دهد.

\[\overline(\sqrt(-27))=\چپ\( -3 \راست\)\]

در اینجا مجموعه ای را می بینیم که فقط از یک عدد تشکیل شده است. این کاملاً منطقی است، زیرا نشان دهنده ریشه فرد است.

در نهایت، آخرین عبارت:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

یک مجموعه خالی گرفتیم. زیرا یک عدد واقعی وجود ندارد که وقتی به توان چهارم (یعنی زوج!) برسانیم، عدد منفی 16 را به ما بدهد.

یادداشت پایانی لطفاً توجه داشته باشید: تصادفی نبود که در همه جا متوجه شدم که ما با اعداد واقعی کار می کنیم. زیرا اعداد مختلط نیز وجود دارد - محاسبه $\sqrt(-16)$ و بسیاری چیزهای عجیب دیگر کاملاً امکان پذیر است.

با این حال، در برنامه درسی مدرسه مدرن ریاضیات، اعداد مختلط تقریباً هرگز یافت نمی شوند. آنها از اکثر کتاب های درسی حذف شده اند زیرا مقامات ما موضوع را "بسیار دشوار برای درک" می دانند.

همین. در درس بعدی، تمام ویژگی های کلیدی ریشه ها را بررسی خواهیم کرد و در نهایت یاد می گیریم که چگونه عبارات غیر منطقی را ساده کنیم. :)